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回文数

十一月 12, 2023

迴文数或回文數是指像14641这样“对称”的数，即：将这数的位数反轉排列得到的「倒序數」[1]:94或「反序數」[1]:59和原数一样。这裡，“回文”是指像“妈妈爱我，我爱妈妈”这样，正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注，典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数，如

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》（Synergetics）把回文数也叫做沙拉扎数（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何進位制都有无限个回文数；101、1001、10001、…（一个1后接n个0再后接一个1）等各项在任何進制都是回文数，可组成有无限项的序列，这進制的回文数有无限（其中包括但不限于该序列中的无限项）。

正式定义

虽然通常考虑十进制回文数，但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数。以b（b≥2）为底的数n（n＞0）可按标准方式表示为k＋1个数 ，即

 

其中，如惯例，对所有i 都要求 ，且 。则n称为回文数，当且仅当对所有i 都有 。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基b，当且仅当：

  • n是一位数，或
  • n为两位相同数字，或
  • n由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数n称为回文。

十进制

10基数中所有单位数｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是回文数。

两位回文数有9个：

｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝

三位回文数有90个：

｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝

四位回文数也有90个：

｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝

小于104的回文数共199个，小于105的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10n来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…（OEIS數列A070199）个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n为自然数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n为偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n为奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n为完全平方数 3 6 13 14 19 ＋ ＋
n为素数 4 5 20 113 781 5953
n为因数中不含平方数的数 6 12 67 120 675 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为可被某平方数整除的数（即μ(n)＝0） 3 6 41 78 423 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为素数的平方数 2 3 5
n有偶数个相异的素因子（即μ(n)＝1） 2 6 35 56 324 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n有奇数个相异的素因子（即μ(n)＝－1） 5 7 33 65 352 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为偶数并有奇数个素因子
n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 1 2 9 21 100 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为奇数并有奇数个素因子 0 1 12 37 204 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 0 0 4 24 139 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 2 11 15 98 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 4 24 41 226 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为奇数并有正好两个素因子 1 4 25 39 205 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为偶数并有正好两个素因子 2 3 11 64 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为偶数并有正好三个素因子 1 3 14 24 122 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为偶数并有正好三个相异的素因子
n为奇数并有正好三个素因子 0 1 12 34 173 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为卡迈克尔数 0 0 0 0 0 1＋ ＋ ＋ ＋ ＋
n为满足σ(n)是回文数的数 6 10 47 114 688 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋

其它基数

十进制以外的数系也有回文数，如二进制回文数有：

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…（OEIS數列A006995）。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像1646110＝404D16（下标数字表示基数，n16表示以十六进制写出的n）。然而，有些数字在几套進制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic），如10510在五套不同進制都是回文数：12214＝1518＝7714＝5520＝3334；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18進制是回文：

  • 73＝ 111
  • 74＝ 777
  • 76＝ 12321
  • 79＝1367631

任何数n在所有b≥n＋1的基数b都是回文（这时n是单位数）；在基为n－1时同样也是回文数（这时n就成了11n－1）。如果對於2≤b≤n－2，某数在基b都是非回文数，则称其是严格非回文数（Strictly non-palindromic number）。如6在二進制是110，三進制是20，四進制是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… （OEIS數列A016038）。

参见

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 徐连信. C语言程序设计. 清华大学出版社. 2005. 

外部链接

  • Jason Doucette－196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的（页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • 196及其它利克瑞尔数（页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • 10萬以下的回文数（页面存档备份，存于互联网档案馆）来自Ask Dr. Math

十一月 12, 2023
回文数, 迴文数或回文數是指像14641这样, 对称, 的数, 将这数的位数反轉排列得到的, 倒序數, 94或, 反序數, 59和原数一样, 这裡, 回文, 是指像, 妈妈爱我, 我爱妈妈, 这样, 正读反读都相同的单词或句子, 在休闲数学领域备受关注, 典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数, 回文素数, a002385, 回文完全平方数, 10201, 12321, a002779巴克敏斯特, 福乐的著作, 协同学, synergetics, 把也叫做沙拉扎数, scheherazade, numb. 迴文数或回文數是指像14641这样 对称 的数 即 将这数的位数反轉排列得到的 倒序數 1 94或 反序數 1 59和原数一样 这裡 回文 是指像 妈妈爱我 我爱妈妈 这样 正读反读都相同的单词或句子 回文数在休闲数学领域备受关注 典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数 如 回文素数 2 3 5 7 11 101 131 151 A002385 回文完全平方数 0 1 4 9 121 484 676 10201 12321 A002779巴克敏斯特 福乐的著作 协同学 Synergetics 把回文数也叫做沙拉扎数 Scheherazade Numbers 沙拉扎是 一千零一夜 中那位讲故事的王妃 即宰相女儿之名 任何進位制都有无限个回文数 101 1001 10001 一个1后接n个0再后接一个1 等各项在任何進制都是回文数 可组成有无限项的序列 这進制的回文数有无限 其中包括但不限于该序列中的无限项 目录 1 正式定义 2 十进制 3 其它基数 4 参见 5 參考文獻 6 外部链接正式定义虽然通常考虑十进制回文数 但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数 以b b 2 为底的数n n 0 可按标准方式表示为k 1个数a i displaystyle a i nbsp 即 n i 0 k a i b i displaystyle n sum i 0 k a i b i nbsp 其中 如惯例 对所有i 都要求0 a i b displaystyle 0 leq a i leq b nbsp 且a k 0 displaystyle a k neq 0 nbsp 则n称为回文数 当且仅当对所有i 都有a i a k i displaystyle a i a k i nbsp 零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数 另一种等价定义如下 在任何基b 当且仅当 n是一位数 或 n为两位相同数字 或 n由三位或更多数字组成 其首位和末位数字相同 且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文的数n称为回文 十进制10基数中所有单位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 都是回文数 两位回文数有9个 11 22 33 44 55 66 77 88 99 三位回文数有90个 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 909 919 929 939 949 959 969 979 989 999 四位回文数也有90个 1001 1111 1221 1331 1441 1551 1661 1771 1881 1991 9009 9119 9229 9339 9449 9559 9669 9779 9889 9999 小于104的回文数共199个 小于105的回文数有1099个 对其它的10的整数幂10n来说 分别有 1999 10999 19999 109999 199999 1099999 OEIS數列A070199 个回文数 下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数 其中包括将0也作为回文数 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010n为自然数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999n为偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889n为奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110n为完全平方数 3 6 13 14 19 n为素数 4 5 20 113 781 5953n为因数中不含平方数的数 6 12 67 120 675 n为可被某平方数整除的数 即m n 0 3 6 41 78 423 n为素数的平方数 2 3 5n有偶数个相异的素因子 即m n 1 2 6 35 56 324 n有奇数个相异的素因子 即m n 1 5 7 33 65 352 n本身为偶数并有奇数个素因子n本身为偶数并有奇数个相异的素因子 1 2 9 21 100 n本身为奇数并有奇数个素因子 0 1 12 37 204 n本身为奇数并有奇数个相异的素因子 0 0 4 24 139 n本身为偶数且因子中无平方数 有偶数个相异素因子 1 2 11 15 98 n本身为奇数且因子中无平方数 有偶数个相异素因子 1 4 24 41 226 n为奇数并有正好两个素因子 1 4 25 39 205 n为偶数并有正好两个素因子 2 3 11 64 n为偶数并有正好三个素因子 1 3 14 24 122 n为偶数并有正好三个相异的素因子n为奇数并有正好三个素因子 0 1 12 34 173 n为卡迈克尔数 0 0 0 0 0 1 n为满足s n 是回文数的数 6 10 47 114 688 其它基数十进制以外的数系也有回文数 如二进制回文数有 0 1 11 101 111 1001 1111 10001 10101 11011 11111 100001 以上这些数在十进制即0 1 3 5 7 9 15 17 21 27 31 33 OEIS數列A006995 梅森素数是二进制回文素数的子集 某基数的回文数在另一基数通常不是回文数 像1646110 404D16 下标数字表示基数 n16表示以十六进制写出的n 然而 有些数字在几套進制都是回文数 称为 协回文 copalindromic 如10510在五套不同進制都是回文数 12214 1518 7714 5520 3334 十进制数1991在十六进制为7C7 也是回文 7的一些幂在18進制是回文 73 111 74 777 76 12321 79 1367631任何数n在所有b n 1的基数b都是回文 这时n是单位数 在基为n 1时同样也是回文数 这时n就成了11n 1 如果對於2 b n 2 某数在基b都是非回文数 则称其是严格非回文数 Strictly non palindromic number 如6在二進制是110 三進制是20 四進制是12 都不是回文數 是嚴格非回文數 這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數 首幾項 1 2 3 4 6 11 19 47 53 79 103 OEIS數列A016038 参见利克瑞尔数 Lychrel number 回文 回文素数參考文獻 1 0 1 1 徐连信 C语言程序设计 清华大学出版社 2005 外部链接Jason Doucette 196回文数探索 最终产生回文数中迭代次数最多的 页面存档备份 存于互联网档案馆 196及其它利克瑞尔数 页面存档备份 存于互联网档案馆 10萬以下的回文数 页面存档备份 存于互联网档案馆 来自Ask Dr Math 取自 https zh wikipedia org w index php title 回文数 amp oldid 77150231, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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