四角錐數

在數學中，四角錐數，或金字塔數，是一個有形數表示有多少球堆積成一個金字塔（四角錐，如右圖)，這是以正方形為基礎（底面為正方形）。

${\displaystyle {{{{1}+{4}}+{9}}+{16}}=30}$是四角錐数

四角錐數（square pyramidal number）如右圖所示，第一層+第二層+第三層+第四層每層都是正方形數合起來是正四角錐，也就是正方形數的級數。

例：1、 5（=1+4）、 14（=1+4+9）、 30（=1+4+9+16）、 55（=1+4+9+16+25）

用砲彈堆成的金字塔存放在法國斯特拉斯堡歷史博物館（英语：Musée historique de Strasbourg）。球的數量就是四角錐數, 55。

計算方式與公式

前幾個四角錐數是：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...（OEIS數列A000330）。

這些數字可以表示為一個公式：

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}}$ 。

這是馮哈伯公式的一個特例，可以用數學歸納法來證明。

和其他有形數的關係

四角錐數也可以表示成二項式係數的和：

${\displaystyle P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}}$ 

兩個四角錐數的總和是一個八面體數。

參見

• 四角數
• 四角錐

參考文獻和資料來源

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A.（Eds.）. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55. 1964: 813. ISBN 0486612724. 
• Beiler, A. H. Recreations in the Theory of Numbers. Dover. 1964: 194. ISBN 0486210960. 
• Goldoni, G. A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two. The Mathematical Intelligencer. 2002, 24 (4): 67–69. 
• Sigler, Laurence E.（trans.）. Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 260–261. ISBN 0-387-95419-8. 
• OELS:A000330

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Square Pyramidal Number. MathWorld.