八面體數

八面體數是能排成八面體的有形數, 或是由兩個四角錐疊起來, 另一個倒置在下面. 計算八面體數${\displaystyle O_{n}}$可以用第n-1個和第n個四角錐數的和 , 或是使用下列公式:

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

前幾個八面體數為：

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 （OEIS數列A005900）。

八面體數有一個母函數

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

波洛克爵士（英语：Sir Frederick Pollock, 1st Baronet）猜想在1850之內，每一個數字都可以寫成最多7八面體數的總和(Dickson 2005, 第23頁)。

八面體數${\displaystyle O_{n}}$可以使用三角形數${\displaystyle T_{n}}$表示

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

參考文獻

• Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.
• Eric W. Weisstein. "Octahedral Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.[1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）

參見

• 有形數
• 波洛克八面體數猜想（英语：Pollock octahedral numbers conjecture）