Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.
十二月 25, 2023
哈代, 李特爾伍德極大函數, 數學上, 一個局部可積函數的哈代, 李特爾伍德, hardy, littlewood, 極大函數在一點的值, 是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界, 目录, 定義, 性質, 證明, 哈代, 李特爾伍德極大不等式, 證明, 應用, 參考定義, 编辑對一個在r, displaystyle, mathbb, nbsp, 上定義的局部可積函數f, 可定義其哈代, 李特爾伍德極大函數mf如下, displaystyle, frac, nbsp, 可能是, displaystyle, in. 數學上 一個局部可積函數的哈代 李特爾伍德 Hardy Littlewood 極大函數在一點的值 是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界 目录 1 定義 2 性質 2 1 證明 3 哈代 李特爾伍德極大不等式 3 1 證明 4 應用 5 參考定義 编辑對一個在R n displaystyle mathbb R n nbsp 上定義的局部可積函數f 可定義其哈代 李特爾伍德極大函數Mf如下 M f x sup r gt 0 1 m B x r B x r f y d m y displaystyle Mf x sup r gt 0 frac 1 m B x r int B x r f y dm y nbsp dd Mf x 可能是 displaystyle infty nbsp 其中m是R n displaystyle mathbb R n nbsp 上的勒貝格測度 性質 编辑Mf x 是下半連續函數 證明 编辑 對任何x R m displaystyle x in mathbb R m nbsp 可假設Mf x gt 0 否則幾乎處處f 0 任意取0 lt c lt Mf x 從Mf定義知存在r gt 0使得 c 1 1 m B x r B x r f y d m y gt c displaystyle c 1 frac 1 m B x r int B x r f y dm y gt c nbsp dd 存在d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp 使得 r r d n gt c c 1 displaystyle r r delta n gt c c 1 nbsp 對任何x B x d displaystyle x in B x delta nbsp 有B x r B x r d displaystyle B x r subset B x r delta nbsp 所以 M f x 1 m B x r d B x r d f y d m y 1 m B x r d B x r f y d m y 1 m B x r r r d n B x r f y d m y 1 m B x r r r d n B x r f y d m y gt c 1 c c 1 c displaystyle begin aligned amp Mf x amp geq frac 1 m B x r delta int B x r delta f y dm y amp geq frac 1 m B x r delta int B x r f y dm y amp frac 1 m B x r left frac r r delta right n int B x r f y dm y amp frac 1 m B x r left frac r r delta right n int B x r f y dm y amp gt c 1 cdot frac c c 1 c end aligned nbsp dd 因此Mf是下半連續 哈代 李特爾伍德極大不等式 编辑設f L 1 R n displaystyle f in mathrm L 1 mathbb R n nbsp 為可積函數 對任何常數c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp 有不等式 m M f gt c 3 n f L 1 c displaystyle m Mf gt c leq frac 3 n f mathrm L 1 c nbsp dd 證明 编辑 對每個在集合 M f gt c displaystyle Mf gt c nbsp 內的點x 都有r x gt 0 displaystyle r x gt 0 nbsp 使得 1 m B x r x B x r x f y d m y gt c displaystyle frac 1 m B x r x int B x r x f y dm y gt c nbsp dd 設K為 M f gt c displaystyle Mf gt c nbsp 內的緊集 開球 B x r x x K displaystyle B x r x x in K nbsp 是K的一個開覆蓋 因K緊緻 存在有限子覆蓋 B x i r i i 1 N displaystyle B x i r i i 1 N nbsp r i r x i displaystyle r i r x i nbsp 用維塔利覆蓋引理 這有限子覆蓋中存在子集 B x i j r i j i j displaystyle B x i j r i j i j nbsp 當中的開球兩兩不交 而且將這些開球的半徑增至三倍後B x i j 3 r i j displaystyle B x i j 3r i j nbsp 可以覆蓋K 於是 m K i j m B x i j 3 r i j i j 3 n m B x i j r i j lt i j 3 n c B x i j r i j f y d m y 3 n c K f y d m y 3 n f L 1 c displaystyle begin aligned m K amp leq sum i j m B x i j 3r i j amp sum i j 3 n m B x i j r i j amp lt sum i j frac 3 n c int B x i j r i j f y dm y amp leq frac 3 n c int K f y dm y amp leq frac 3 n f mathrm L 1 c end aligned nbsp dd 上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質 從勒貝格測度的內正則性 集合 M f gt c displaystyle Mf gt c nbsp 的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界 故有 m M f gt c sup K m K 3 n f L 1 c displaystyle m Mf gt c sup K m K leq frac 3 n f mathrm L 1 c nbsp dd 應用 编辑哈代 李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理 參考 编辑Rudin Walter 1987 Real and complex analysis International Series in Pure and Applied Mathematics 3rd ed McGraw Hill 取自 https zh wikipedia org w index php title 哈代 李特爾伍德極大函數 amp oldid 76672533, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,