Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.
十二月 25, 2023
勒貝格微分定理, 數學上, 是實分析的一條定理, 這條定理大致是說, 一個局部可積函數在幾乎每點的值, 都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均, 換言之, 該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點, 定理敘述, 编辑設f, displaystyle, mathrm, mathbb, nbsp, 為实值或复值的局部可積函數, m為r, displaystyle, mathbb, nbsp, 的勒貝格測度, 那麼r, displaystyle, mathbb, nbsp, 中幾乎處處的x都符合, displaystyle. 數學上 勒貝格微分定理是實分析的一條定理 這條定理大致是說 一個局部可積函數在幾乎每點的值 都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均 換言之 該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點 定理敘述 编辑設f L l o c 1 R k displaystyle f in mathrm L loc 1 mathbb R k nbsp 為实值或复值的局部可積函數 m為R k displaystyle mathbb R k nbsp 的勒貝格測度 那麼R k displaystyle mathbb R k nbsp 中幾乎處處的x都符合 lim r 0 1 m B x r B x r f y f x d m y 0 displaystyle lim r to 0 frac 1 m B x r int B x r left f y f x right dm y 0 nbsp dd 使上式成立的点称为f displaystyle f nbsp 的勒贝格点 證明 编辑因為這定理是關於函數的局部性質 不失一般性 可假設函數f定義在有界集合中 故f為可積函數 定義 T r f x 1 m B x r B x r f y f x d m y displaystyle T r f x frac 1 m B x r int B x r left f y f x right dm y nbsp T f x lim sup r 0 T r f x displaystyle Tf x limsup r to 0 T r f x nbsp dd 那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf 0 只需證對任何y gt 0 集合 Tf gt y 的測度為零 對連續函數 這定理顯然成立 連續函數在L 1 R k displaystyle mathrm L 1 mathbb R k nbsp 中稠密 故此對任意正整數n 有連續函數g使得 f g L 1 lt 1 n displaystyle f g mathrm L 1 lt 1 n nbsp 令h f g displaystyle h f g nbsp 由於g連續 有Tg 0 用三角不等式有 T r h x 1 m B x r B x r h d m h x displaystyle T r h x leq frac 1 m B x r int B x r left h right dm h x nbsp dd 設M h sup r gt 0 1 m B x r B x r h d m displaystyle Mh sup r gt 0 frac 1 m B x r int B x r left h right dm nbsp Mh為h的哈代 李特爾伍德極大函數 從上式得 T h M h h displaystyle Th leq Mh h nbsp dd 因為T r f T r g T r h T r h displaystyle T r f leq T r g T r h T r h nbsp 所以有 T f T h M h h displaystyle Tf leq Th leq Mh h nbsp dd 若Tf gt y 則有Mh gt y 2或者 h gt y 2 因此 T f gt y M h gt y 2 h gt y 2 displaystyle Tf gt y subset Mh gt y 2 cup h gt y 2 nbsp 由哈代 李特爾伍德極大不等式得 m M h gt y 2 3 k 2 y h L 1 lt 3 k 2 n y displaystyle m Mh gt y 2 leq 3 k 2 y h mathrm L 1 lt 3 k cdot 2 ny nbsp dd 由積分的基本性質有 m h gt y 2 y 2 h L 1 displaystyle m h gt y 2 y 2 leq h mathrm L 1 nbsp dd 故得 m h gt y 2 2 n y displaystyle m h gt y 2 leq 2 ny nbsp dd 因此 m T f gt y m M h gt y 2 m h gt y 2 lt 2 3 k 1 n y displaystyle begin aligned amp m Tf gt y amp leq m Mh gt y 2 m h gt y 2 amp lt 2 3 k 1 ny end aligned nbsp dd 因為上式對所有正整數n成立 從而知m Tf gt y 0 定理得證 參考 编辑Rudin Walter 1987 Real and complex analysis International Series in Pure and Applied Mathematics 3rd ed McGraw Hill 取自 https zh wikipedia org w index php title 勒貝格微分定理 amp oldid 76678954, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,