Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2.
Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.
一月 30, 2023
右连左极函数, 在数学中, càdlàg, rcll, 是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数, 这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要, 这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道, 给定定义域上的的集合称为斯科罗霍德空间, skorokhod, space, 目录, 定义, 例子, 斯科罗霍德空间, 斯科罗霍德空间的性质, 一致拓扑的一般化, 完备性, 分离性, 斯科罗霍德空间中的胎紧性, 代数结构与拓扑结构, 参考文献定义, 编辑, 累积分布函数是的一个例子, displayst. 在数学中 右连左极函数 cadlag RCLL 是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数 这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要 这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道 给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间 Skorokhod space 目录 1 定义 2 例子 3 斯科罗霍德空间 4 斯科罗霍德空间的性质 4 1 一致拓扑的一般化 4 2 完备性 4 3 分离性 4 4 斯科罗霍德空间中的胎紧性 4 5 代数结构与拓扑结构 5 参考文献定义 编辑 累积分布函数是右连左极函数的一个例子 令 M d displaystyle M d 为度量空间 并令E R displaystyle E subseteq mathbb R 函数f E M displaystyle f E to M 称为右连左极函数 若对于每一t E displaystyle t in E 都有 左极限f t lim s t f s displaystyle f t lim s uparrow t f s 存在 且 右极限f t lim s t f s displaystyle f t lim s downarrow t f s 存在并等於f t displaystyle f t 即f displaystyle f 是右连续的且有左极限 例子 编辑全部连续函数都是右连左极函数 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数 斯科罗霍德空间 编辑从E displaystyle E 到M displaystyle M 的所有右连左极函数的集合常记为D E M displaystyle D E M 或简记为D displaystyle D 称为斯科罗霍德空间 是以乌克兰数学家阿纳托利 斯科罗霍德 Anatoliy Skorokhod 的名字命名 斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構 这一拓扑直觉上能使我们 稍微蠕动空间和时间 而传统的一致收斂拓扑仅允许我们 稍微蠕动空间 为了简化说明 取E 0 T displaystyle E 0 T M R n displaystyle M mathbb R n Billingsley的书中描述了更一般的拓扑 首先我们必须定义连续性模的一个模拟ϖ f d displaystyle varpi f delta 对於任意F E displaystyle F subseteq E 使 w f F sup s t F f s f t displaystyle w f F sup s t in F f s f t 且对於d gt 0 displaystyle delta gt 0 将右连左极函数模 cadlag modulus 定义为 ϖ f d inf P max 1 i k w f t i 1 t i displaystyle varpi f delta inf Pi max 1 leq i leq k w f t i 1 t i 其中最大下界对所有划分P 0 t 0 lt t 1 lt lt t k T displaystyle Pi 0 t 0 lt t 1 lt dots lt t k T k N displaystyle k in mathbb N 都存在 且max i t i t i 1 lt d displaystyle max i t i t i 1 lt delta 这一定义对於非右连左极函数f displaystyle f 是有意义的 就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的 且可以说明f displaystyle f 是右连左极函数当且仅当d 0 displaystyle delta to 0 时ϖ f d 0 displaystyle varpi f delta to 0 这是令L displaystyle Lambda 表示从E displaystyle E 到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合 这些函数是 对时间的蠕动 令 f sup t E f t displaystyle f sup t in E f t 表示E displaystyle E 上的函数的一致范数 将D displaystyle D 上的斯科罗霍德度量 Skorokhod metric s displaystyle sigma 定义为 s f g inf l L max l I f g l displaystyle sigma f g inf lambda in Lambda max lambda I f g circ lambda 其中I E E displaystyle I E to E 是恆等函數 以 蠕动 这种直观感觉来看 l I displaystyle lambda I 度量了 时间的蠕动 而 f g l displaystyle f g circ lambda 度量了 空间的蠕动 我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量 由s displaystyle sigma 生成的拓扑S displaystyle Sigma 称为D displaystyle D 上的斯科罗霍德拓扑 Skorokhod topology 斯科罗霍德空间的性质 编辑一致拓扑的一般化 编辑 E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间 相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致 完备性 编辑 虽然D 不是关於斯科罗霍德度量s 的一个完备空间 但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 s0 分离性 编辑 关於s 或s0 的D 是可分空间 因此斯科罗霍德空间是波蘭空間 斯科罗霍德空间中的胎紧性 编辑 通过应用阿尔泽拉 阿斯科利定理 我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列 m n n 1 displaystyle mu n n 1 infty 是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件 lim a lim sup n m n f D f a 0 displaystyle lim a to infty limsup n to infty mu n f in D f geq a 0 和 lim d 0 lim sup n m n f D ϖ f d e 0 for all e gt 0 displaystyle lim delta to 0 limsup n to infty mu n f in D varpi f delta geq varepsilon 0 text for all varepsilon gt 0 代数结构与拓扑结构 编辑 在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下 D 不是一个拓扑群 参考文献 编辑Billingsley Patrick Probability and Measure New York NY John Wiley amp Sons Inc 1995 ISBN 0 471 00710 2 Billingsley Patrick Convergence of Probability Measures New York NY John Wiley amp Sons Inc 1999 ISBN 0 471 19745 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 右连左极函数 amp oldid 68552891, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,