傑恩斯-卡明斯模型

傑恩斯-卡明斯模型（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個量子光學的理论模型。 這是一個描述雙態系統和量化光腔(optical cavity)交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關(在电磁辐射能造成光子自發性的放射與吸收)。它主要被運用在原子物理學，量子光學，固態量子信息電路的理論與實驗上。

傑恩斯-卡明斯模型。圓圈內展示了光子的發射與吸收

公式

系统哈密頓量

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}}$ 

由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM哈密頓量組成：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}_{\text{field}}&=&\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=&\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&=&{\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{array}}}$ 

為方便起見，设真空場能量為 ${\displaystyle 0}$ .

其中：

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}}$ 場運算符，目的是把量化輻射場转化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
  • ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}}$ 是玻色子的創生算符
  • ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {a}}\end{smallmatrix}}}$  是玻色子的湮滅算符

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}\end{smallmatrix}}}$ 是原子耦合區的偏振運算符
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}}$ 與${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|\end{smallmatrix}}}$  是原子的階梯算符
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}}$  是原子反轉運算符
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\omega _{a}\end{smallmatrix}}}$ 是原子的躍遷頻率
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\omega _{c}\end{smallmatrix}}}$  是模型的角頻率

JCM哈密頓量

通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景(又名旋轉框架(rotating frame)) ，使得${\displaystyle {\begin{smallmatrix}H_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}}}$ ，可以得到：

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).}$ 

這個哈密頓量同時包含了兩個部分：

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}(\omega _{c}+\omega _{a})\end{smallmatrix}}}$  是快速震蕩，
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}(\omega _{c}-\omega _{a})\end{smallmatrix}}}$  是慢速震蕩。

為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\omega _{c}-\omega _{a}|\ll \omega _{c}+\omega _{a}\end{smallmatrix}}}$  的時候，快速振盪的 “反向旋轉”項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM哈密頓量就變成了：

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).}$ 

其中，

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\hbar \Omega /2=d(\omega _{a}/\hbar V\epsilon _{0})^{1/2}\end{smallmatrix}}}$ 是原子場的耦合常數，
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}}}$ 是原子躍遷時刻，
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}}}$ 是腔模的體積。

本徵態

一般情況下，將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{I}+{\hat {H}}_{II},}$ 

其中，

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}_{I}&=&\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{II}&=&\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{array}}}$ 

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\delta =\omega _{a}-\omega _{c}\end{smallmatrix}}}$  稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。

為了更好地求解哈密頓量，把${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{I}\end{smallmatrix}}\end{smallmatrix}}}$ 的本徵態轉換成張量積 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|n,g\rangle ,|n,e\rangle \end{smallmatrix}}}$ （${\displaystyle {\begin{smallmatrix}n\in \mathbb {N} \end{smallmatrix}}}$ ，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數n，狀態${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle \end{smallmatrix}}}$  與狀態${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle \end{smallmatrix}}}$  會退化為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{I}\end{smallmatrix}}}$  ，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}}$  足以在子空間${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\text{span}}\{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}\end{smallmatrix}}}$ 對角化。 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}}$ 的元素屬於${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle \end{smallmatrix}}}$ 的子空間，表示為：

${\displaystyle H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}}$ 

對於任意正整數n，能量本徵態${\textstyle {\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}}}$ 為：

${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),}$ 

其中，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}\end{smallmatrix}}}$  是拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}}$ 的特徵值是：

${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$ 

${\displaystyle |n,-\rangle =-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$ 

其中，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\angle \alpha _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)\end{smallmatrix}}}$ 

薛丁格繪景動量

為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}~|\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }~\end{smallmatrix}}}$ ，若置一激發態原子于場內，則系統初態為：

${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle -\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].}$ 

其中 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}~|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}}$  是該系統的定態, 含時狀態向量是：

${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right],t>0}$ 

相互作用繪景動量

可以直接通過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符（unitary evolution operator） :^[1]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$ 

其中，定義算符${\displaystyle ~{\hat {\varphi }}~}$ 為

${\displaystyle {\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4}$ 

${\displaystyle ~{\hat {U}}~}$ 的么正(unitary )被恆等定義：

${\displaystyle {\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},}$ 

${\displaystyle \cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},}$ 

么正算符可以計算被密度矩陣${\displaystyle ~{\hat {\rho }}(t)~}$ 所描述的含時系統狀態的演變，么正算符包含了所有可觀測量。給定初態${\displaystyle ~{\hat {\rho }}(0)~}$ ，則有：

${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)}$ ，

${\displaystyle \langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]}$  ，

其中，${\displaystyle ~{\hat {\Theta }}~}$  是表示可觀測量的算符。

量子震盪的崩塌和復興

 

原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}a=(\delta /(2g))^{2}=40\end{smallmatrix}}}$ ， 其中${\displaystyle \delta }$ 是失諧參數），基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式^[2]。

參考資料

1. S. Stenholm, "Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules", Physics Reports, 6(1), 1-121 (1973).
2. A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba. A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model. J. Phys. A: Math. Theor. 2009, (42): 195304, 16. Bibcode:2009JPhA...42s5304K. doi:10.1088/1751-8113/42/19/195304. 

參考文獻

• Serge Haroche, Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. Oxford University Press 2006, ISBN 978-0198509141

延伸閱讀

• C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). Introductory Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
• M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), Quantum Optics, Cambridge: Cambridge University Press.
• D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), Quantum Optics, Springer-Verlag.