雙態系統

雙態系統（英語：Two-state system）在量子力學裏是一種擁有兩個互相獨立的量子態的量子系統。更正式地說，雙態系統的希爾伯特空間是二維的，自由度是2。注意，这并不是指该系统只有两个量子态，因为根据量子力学公设态叠加原理，系统可以处于这两个独立量子态的任意叠加态。

設定斯特恩-革拉赫實驗儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋${\displaystyle |\uparrow \rangle }$或下旋${\displaystyle |\downarrow \rangle }$。

若雙態系統中的二個量子態有相同的能量，則雙態系統只存在尋常解，但若二個量子態之間有能量差，則會出現非尋常解。

雙態動力學

設定量子系統的不含時間哈密頓算符${\displaystyle H\,\!}$ ，其兩個互相獨立的本徵態是${\displaystyle |a\rangle \,\!}$ 與${\displaystyle |b\rangle \,\!}$ ，滿足

${\displaystyle H|a\rangle =E_{a}|a\rangle \,\!}$ ，

${\displaystyle H|b\rangle =E_{b}|b\rangle \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle E_{a}\,\!}$ 與${\displaystyle E_{b}\,\!}$ 分別為${\displaystyle |a\rangle \,\!}$ 與${\displaystyle |b\rangle \,\!}$ 的能量本徵值。

設定在某時間${\displaystyle t_{0}\,\!}$ ，量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =c_{a}|a\rangle +c_{b}|b\rangle \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle c_{a}\,\!}$ 與${\displaystyle c_{b}\,\!}$ 是複值常數，分別是${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle \,\!}$ 處於${\displaystyle |a\rangle \,\!}$ 與${\displaystyle |b\rangle \,\!}$ 的機率幅。

那麼，隨著時間的演化，在時間${\displaystyle t\,\!}$ ，量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{a}e^{-iE_{a}(t-t_{0})/\hbar }|a\rangle +c_{b}e^{-iE_{b}(t-t_{0})/\hbar }|b\rangle \,\!}$ 。

假設，一個多態系統只能夠處於最低能量的兩個量子態。那麼，這多態系統有效地變成了一個雙態系統，可以應用雙態系統模型來解析這多態系統。

例子

自旋1/2粒子

自旋1/2粒子是一個標準的雙態系統。自旋投影於z-軸的分量${\displaystyle S_{Z}\,\!}$ ，其${\displaystyle S_{Z}\,\!}$ 算符的兩個本徵態是「自旋向上」態與「自旋向下」態。電子是一種自旋1/2粒子。設定一個朝著z-軸方向的均勻磁場${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$ 作用於電子。這作用會造成電子能級的分裂。因為這作用，必須添加${\displaystyle eB_{0}S_{Z}/m\,\!}$ 這項目在哈密頓算符${\displaystyle H\,\!}$ 裏。假若原本的能級為${\displaystyle E_{0}\,\!}$ ，自旋向上態的能級會增加為${\displaystyle E_{0}+eB_{0}/2m\,\!}$ ；而自旋向下態的能級會降低為${\displaystyle E_{0}-eB_{0}/2m\,\!}$ ；其中，${\displaystyle e\,\!}$ 是單位電荷量，${\displaystyle m\,\!}$ 是電子質量。

氨分子

氨分子的位於頂點的氮原子可以處於兩種量子態，在由三個氫原子設定的平面的上面，稱為「上」量子態，或是這平面的下面，稱為「下」量子態。所以，氨分子是一個雙態系統。由於上量子態與下量子態的能級相等，這雙態系統簡併。在一個垂直於氫原子平面的電場${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathcal {E}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$ 裏，由於氨分子具有從氮原子指向氫原子的電偶極矩${\displaystyle \mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$ ，造成了上量子態與下量子態的能級分裂。因為這作用，必須添加${\displaystyle -\mathbf {p} \mathbf {E} \,\!}$ 這項目在哈密頓算符${\displaystyle H\,\!}$ 裏。假若原本的能級為${\displaystyle E_{0}\,\!}$ ，上量子態的能級會增加為${\displaystyle E_{0}+|p|{\mathcal {E}}\,\!}$ ；而下量子態的能級會降低為${\displaystyle E_{0}-|p|{\mathcal {E}}\,\!}$ 。所以，雙態系統變成不簡併系統。

量子計算機

在量子資訊科學裡，量子位元概念的基礎是雙態系統模型。任何量子計算操作是一個統一的操作在布洛赫球面旋轉狀態向量。

參考文獻

論文

• Feynman, Richard P.; Vernon Jr., Frank L.; Hellwarth, Robert W. (PDF). Journal of Applied Physics (AIP). 1957, 28 (1): 49–52 [2021-11-17]. Bibcode:1957JAP....28...49F. ISSN 0021-8979. LCCN 33023425. OCLC 900973293. doi:10.1063/1.1722572. （原始内容 (PDF)存档于2017-08-11）. 
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1/2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin – New York, S. 649 ff.

書籍

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• Cohen-Tannoudj, Claude; Diu, Bernard. Quantum mechanics. Wiley. 1977. ISBN 978-0471164333. OCLC 908955541. 
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• Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim J. Modern quantum mechanics 2nd. Addison-Wesley. July 14, 2010. ISBN 978-0805382914. LCCN 2010022349. OCLC 641998678. 

參閱

• 拉比周期
• 自旋-軌道作用
• 核磁共振
• 量子光学

外部連結

• Jan Krieger: Theoretische Quantenmechanik und Anwendungen （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2007 (PDF-Datei; 4,26 MB) （德文）