作用量-角度坐标

在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。

導引

保守的哈密頓量系統

主條目：哈密頓特徵函數

假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  不顯含時間；

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$  ；

其中，${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$  是運動常數，${\displaystyle \mathbf {q} }$  是廣義坐標，${\displaystyle \mathbf {p} }$  是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )}$  為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}$  ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {Q} }$  是新廣義坐標，${\displaystyle \mathbf {P} }$  是新廣義動量。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$  與舊哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  相等：

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$  。

新廣義動量的哈密頓方程式為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}$  。

所以，新廣義動量是常數 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  ：

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} }$  ，

假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}$  為完全可分的，則哈密頓特徵函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )}$  可以分離為 ${\displaystyle n}$  個函數 ${\displaystyle W_{i}}$  ：

${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}$  。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}}$  ，

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}}$  。

週期性運動

假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 ${\displaystyle (\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )}$  。定義作用量為

${\displaystyle J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}}$  ；

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 ${\displaystyle p_{i}}$  只跟 ${\displaystyle q_{i}}$  、${\displaystyle \mathbf {a} }$  有關，經過積分，作用量${\displaystyle J_{i}}$  只跟 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  有關。所以，作用量向量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )}$  。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$  為

${\displaystyle w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}}$  。

由於所有的廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$  都相互獨立，所有的廣義動量 ${\displaystyle p_{i}}$  也都相互獨立，所以，所有的作用量 ${\displaystyle J_{i}}$  都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

${\displaystyle W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )}$  。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'}$  與舊哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  相等：

${\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$  。

因為作用量 ${\displaystyle J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )}$  只是常數向量，所以，

${\displaystyle -{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0}$  。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}$  ，只跟作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  有關，跟角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$  無關。

角度 ${\displaystyle w_{i}}$  隨時間的導數 ${\displaystyle \nu _{i}}$  ，可以用哈密頓方程式決定：

${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}}$  。

每一個 ${\displaystyle J_{i}}$  都是常數，所以，${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )}$  也是常數：

${\displaystyle w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}}$  ；

其中，${\displaystyle \beta _{i}}$  是積分常數。

運動頻率

假設原本廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$  的振蕩或旋轉的運動週期為 ${\displaystyle T_{i}}$  ，則其對應的角度變數 ${\displaystyle w_{i}}$  的改變是 ${\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}}$  。進一步了解物理量 ${\displaystyle \nu _{i}}$  的性質，猜想 ${\displaystyle \nu _{i}}$  與廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$  週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 ${\displaystyle w_{i}}$  是廣義座標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  與作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 ${\displaystyle T_{i}}$  ：

${\displaystyle T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}}$  。

新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}$  與舊哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  相等。所以，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}}$  。

假若 ${\displaystyle q_{j}}$  是個循環坐標，那麼，其共軛動量 ${\displaystyle p_{j}}$  必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

${\displaystyle J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell }$  ；

其中，${\displaystyle \ell }$  是 ${\displaystyle q_{j}}$  運動一週期的值。

這樣，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell }$  。

代入週期 ${\displaystyle T_{i}}$  的公式，

${\displaystyle T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}}$  。

肯定地，${\displaystyle \nu _{i}}$  是廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$  的頻率。

假若 ${\displaystyle q_{j}}$  不是循環坐標，則不能將其共軛動量 ${\displaystyle p_{j}}$  從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 ${\displaystyle w_{i}}$  跟廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$  、作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$  有關：

${\displaystyle w_{i}=w_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )}$  。

保持作用量不變，角度的虛位移 ${\displaystyle \delta w_{i}}$  是：

${\displaystyle \delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}}$  。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$  都有它運動的週期 ${\displaystyle T_{i}}$  。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 ${\displaystyle T_{1}}$  、${\displaystyle T_{2}}$  。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 ${\displaystyle T}$  ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

${\displaystyle T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}}$  ；

其中，${\displaystyle {\frac {T}{T_{1}}}}$  、${\displaystyle {\frac {T}{T_{2}}}}$  、${\displaystyle m_{1}}$  、${\displaystyle m_{2}}$  ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 ${\displaystyle T}$  為

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}}$  ；

其中，${\displaystyle {\frac {T}{T_{i}}}}$  、${\displaystyle m_{i}}$  ，都是正值的整數。

經過一個週期 ${\displaystyle T}$  ，角度 ${\displaystyle w_{i}}$  的變化是：

${\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}}$  。

由於作用量 ${\displaystyle J_{i}}$  是個常數，可以將它從積分內提出：

${\displaystyle \Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}}$  。

所以，頻率是

${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$  。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 ${\displaystyle q_{i}}$  、${\displaystyle q_{j}}$  ，其週期 ${\displaystyle T_{i}}$  、${\displaystyle T_{j}}$  的比例是無理數。那麼，${\displaystyle q_{i}}$  不可能與 ${\displaystyle q_{j}}$  同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，${\displaystyle \nu _{i}}$  、${\displaystyle \nu _{i}}$  仍舊分別是 ${\displaystyle q_{i}}$  、${\displaystyle q_{j}}$  的頻率。

傅立葉級數

角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$  是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 ${\displaystyle q_{k}}$  可以用角度的傅立葉級數表示：

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$  ；

其中， ${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$  是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}$  為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 ${\displaystyle q_{k}}$  只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}}$  。

基本規則總結

一般程序有三個步驟：

1. 計算作用量變數 ${\displaystyle J_{i}}$  。
2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 ${\displaystyle \nu _{i}}$  。

簡併度

在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，${\displaystyle \nu _{i}=\nu _{j}}$  for ${\displaystyle i\neq j}$  。稱這些案例的運動狀態為簡併。

簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。

參考文獻

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.