通約性

关于与「通約性」標題相近或相同的条目，請見「可通約性」。

假若，兩個不等於零的实数 ${\displaystyle a\,\!}$ 與 ${\displaystyle b\,\!}$ 的除商 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\!}$ 是一個有理數，或者說，${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle b}$ 的比例相等於兩個非零整數 ${\displaystyle p}$ 與 ${\displaystyle q}$ 的比例：

${\displaystyle a:b=p:q\ (a,b\in R,p,q\in Z\land p,q\neq 0)}$，

則稱它們是互相可通約的（commensurable），而這特性則稱為通約性。這意味著，存在一個非零的實數公約數（common measure）${\displaystyle m\ (m\in R,m\neq 0)}$，使得

${\displaystyle a=mp,b=mq}$，

所以

${\displaystyle a:b=mp:mq=p:q}$

或是

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {mp}{mq}}={\frac {p}{q}}}$，

其中 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in Q}$，所以 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\in Q}$。

反之，如果該二數的除商是一個無理數，則稱它們是不可通約的（incommensurable），亦即，${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle b}$ 之間不存在一個公約數 ${\displaystyle m\ (m\in R,m\neq 0)}$ 使得

${\displaystyle a=mp,b=mq\ (p,q\in Z)}$。

歷史

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數）${\displaystyle {\sqrt[{}]{2}}}$ ，這破壞了他們的比例論。

為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。 這本書裡面記載著，假若，${\displaystyle n_{a}\,\!}$  個線段 ${\displaystyle c\,\!}$  連接起來，成為一個線段，全等於線段 ${\displaystyle a\,\!}$  ；${\displaystyle n_{b}\,\!}$  個線段 ${\displaystyle c\,\!}$  連接起來，成為一個線段，全等於線段 ${\displaystyle b\,\!}$  ；這裏，${\displaystyle n_{a}\,\!}$  與 ${\displaystyle n_{b}\,\!}$  是整數。那麼，兩個線段 ${\displaystyle a\,\!}$  與 ${\displaystyle b\,\!}$  是互相可通約的。歐幾里得並沒有用到實數的概念。他用到了線段與線段之間，全等，比較長，或比較短，這些概念。

數學

設定實數 ${\displaystyle a\,\!}$  與 ${\displaystyle b\,\!}$  。那麼，實數 ${\displaystyle c\,\!}$  ，整數 ${\displaystyle n_{a}\,\!}$  與 ${\displaystyle n_{b}\,\!}$  的存在，促使

${\displaystyle a=n_{a}c\,\!}$  ，

${\displaystyle b=n_{b}c\,\!}$  ，

的充分必要條件是除商 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\!}$  為有理數。

假設 ${\displaystyle a\,\!}$  與 ${\displaystyle b\,\!}$  是正值的實數。又假設我們有一支尺，長度單位為實數 ${\displaystyle c\,\!}$  。我們用這尺來測量兩個長度為 ${\displaystyle a\,\!}$  與 ${\displaystyle b\,\!}$  的線段。假若，所得到的答案都是整數，則稱 ${\displaystyle a\,\!}$  與 ${\displaystyle b\,\!}$  互相可通約的；否則，互相不可通約的。

天文學

主条目：通约性 (天文学)

在天文學裏，兩個公轉於運行軌道的天體，像行星、衛星、或小行星，若它們的公轉週期的比例是有理數，則稱它們相互呈現通約性。

物理學

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標都有它運動的週期。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期是互相可通約的。假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。

參閱

• 公因數
• 公倍数
• 軌道共振
• 作用量-角度坐標