在数学中，低维拓扑 是拓扑学 中研究二、三、四维流形 或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形 、四维流形 辫群 等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学 的一部分。
历史 自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注。1961年，斯梅尔（英語：Smale ）证明了在五维以上，庞加莱猜想 是成立的[1] 庞加莱猜想 ，人们早已熟知。于是在当时，三维四维的庞加莱猜想 似乎是最难以证明的，因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情形。1980年代初，威廉·瑟斯顿 （英語：Thurston ）的几何化猜想 [2] 沃恩·琼斯 （英語：Vaughan Jone ）发现了琼斯多项式 [3] 纽结理论 引向新的研究方向，并且琼斯多项式中含藏着低维拓扑和数学物理 的联系。
二维拓扑空间 曲面 是一个二维的拓扑流形 。我们最熟悉的例子是欧几里得空间 中三维实心体的边界，例如三维球体的边界。除此之外，也有一些曲面不能被嵌入 三维欧式空间 中，例如克莱因瓶 。
闭曲面的分类 闭曲面的分类理论 陈述如下[4] 闭曲面 属于以下三种类别之一
球面 g 个环面 的连通和 ，这里 g ≥ 1 {\displaystyle g\geq 1} k 个实射影平面 的连通和 ，这里 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} 前两个类别的曲面是可定向的 ，若把球面 当成是0个环面 的连通和 ，那么第一个类别可归入第二个类别。第二个类别中，数字g 被叫做曲面的亏格 。曲面的亏格 和欧拉示性数 有一定联系：对于g 个环面的连通和 ，它的欧拉示性数为2 − 2g .
三维拓扑空间 定义 如果一个拓扑空间 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} [5]
M {\displaystyle M} 第二可数空间 M {\displaystyle M} 豪斯多夫空间 M {\displaystyle M} 开集 ，而且这个开集 和三维欧式空间 同胚三维流形理论 在三维情况，拓扑流形 、分段线性流形、光滑流形 三个范畴都等价，因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类。三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别，因此有许多研究方法专门适用于三维流形，而不能被推广至更高的维度。三维流形的特殊性，导致了三维流形和许多领域有着密切的联系，例如：纽结理论 、几何群论 、双曲几何 、数论 、拓扑量子场论 、规范场论 、Floer同调论 偏微分方程 。三维流形理论被划分为低维拓扑或几何拓扑学 的一部分。
参考来源 ^ Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR 0137124 ^ Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982. ^ Introduction to Jones Polynomial （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12] ^ Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., (PDF) , American Mathematical Monthly , May 1999, 106 (5) [2017-11-28 ] , doi:10.2307/2589143 , （原始内容 (PDF) 存档于2010-06-12）, page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof ^ John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8
外部链接 羅比恩·卡比 的 低维拓扑中的问题（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） – postscript文件 (1.4 MB)马克·布莱特汉姆的（英語：Mark Brittenham ）
低維拓撲, 在数学中, 低维拓扑是拓扑学中研究二, 四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支, 有代表性的研究主题包括三维流形, 四维流形, 英语, manifold, 扭结和辫群等的结构理论, 低维拓扑是几何拓扑学的一部分, 目录, 历史, 二维拓扑空间, 闭曲面的分类, 三维拓扑空间, 定义, 三维流形理论, 参考来源, 外部链接历史, 编辑自1960年起, 一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注, 1961年, 斯梅尔, 英語, smale, 证明了在五维以上, 庞加莱猜想是成立的, 对于一维二维的庞加莱猜. 在数学中 低维拓扑是拓扑学中研究二 三 四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支 有代表性的研究主题包括三维流形 四维流形 英语 4 manifold 扭结和辫群等的结构理论 低维拓扑是几何拓扑学的一部分 目录 1 历史 2 二维拓扑空间 2 1 闭曲面的分类 3 三维拓扑空间 3 1 定义 3 2 三维流形理论 4 参考来源 5 外部链接历史 编辑自1960年起 一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注 1961年 斯梅尔 英語 Smale 证明了在五维以上 庞加莱猜想是成立的 1 对于一维二维的庞加莱猜想 人们早已熟知 于是在当时 三维四维的庞加莱猜想似乎是最难以证明的 因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情形 1980年代初 威廉 瑟斯顿 英語 Thurston 的几何化猜想 2 预示着低维几何和低维拓扑有紧密的关系 1980年代早期 沃恩 琼斯 英語 Vaughan Jone 发现了琼斯多项式 3 将纽结理论引向新的研究方向 并且琼斯多项式中含藏着低维拓扑和数学物理的联系 二维拓扑空间 编辑主条目 拓扑 曲面是一个二维的拓扑流形 我们最熟悉的例子是欧几里得空间中三维实心体的边界 例如三维球体的边界 除此之外 也有一些曲面不能被嵌入三维欧式空间中 例如克莱因瓶 闭曲面的分类 编辑 闭曲面的分类理论陈述如下 4 任意连通的闭曲面属于以下三种类别之一 球面 g个环面的连通和 这里g 1 displaystyle g geq 1 k个实射影平面的连通和 这里k 1 displaystyle k geq 1 前两个类别的曲面是可定向的 若把球面当成是0个环面的连通和 那么第一个类别可归入第二个类别 第二个类别中 数字g被叫做曲面的亏格 曲面的亏格和欧拉示性数有一定联系 对于g个环面的连通和 它的欧拉示性数为2 2g 三维拓扑空间 编辑主条目 3 流形和三维流形 定义 编辑 如果一个拓扑空间M displaystyle M 满足以下条件 那么M displaystyle M 是一个三维拓扑流形 5 M displaystyle M 是第二可数空间 M displaystyle M 是豪斯多夫空间 M displaystyle M 上每一个点都被包含于一个开集 而且这个开集和三维欧式空间同胚三维流形理论 编辑 在三维情况 拓扑流形 分段线性流形 光滑流形三个范畴都等价 因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类 三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别 因此有许多研究方法专门适用于三维流形 而不能被推广至更高的维度 三维流形的特殊性 导致了三维流形和许多领域有着密切的联系 例如 纽结理论 几何群论 双曲几何 数论 拓扑量子场论 规范场论 Floer同调论 英语 Floer homology 偏微分方程 三维流形理论被划分为低维拓扑或几何拓扑学的一部分 参考来源 编辑 Stephen Smale Generalized Poincare s conjecture in dimensions greater than four Ann of Math 2 74 1961 391 406 MR0137124 Thurston W P Three Dimensional Manifolds Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry Bull Amer Math Soc 6 357 381 1982 Introduction to Jones Polynomial 页面存档备份 存于互联网档案馆 Vaughan F R Jones 2005 8 12 Francis George K Weeks Jeffrey R Conway s ZIP Proof PDF American Mathematical Monthly May 1999 106 5 2017 11 28 doi 10 2307 2589143 原始内容 PDF 存档于2010 06 12 page discussing the paper On Conway s ZIP Proof John M Lee Introduction to Smooth Manifold 2 New York Springer 3 ISBN 978 1 4419 9981 8 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 外部链接 编辑羅比恩 卡比的 低维拓扑中的问题 页面存档备份 存于互联网档案馆 postscript文件 1 4 MB 马克 布莱特汉姆的 英語 Mark Brittenham 低维拓扑的相关链接 取自 https zh wikipedia org w index php title 低維拓撲 amp oldid 75829731, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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