龐加萊復現定理

  「庞加莱回归」、「庞加莱复现」和「庞加莱回复」均重定向至此。关于以同一個數學家命名的回归映射，请见「庞加莱映射」。

物理學上，龐加萊復現定理^[1]（英語：Poincaré recurrence theorem，又译为庞加莱回复定理或庞加莱回归定理^[2][3][4]）斷言，對於某類系統而言，只要經過充分長但有限的時間，一定会到达某個與初始態任意接近的狀態（若該系統具連續的狀態），或者一定返回初始態本身（若該系統離散）。

龐加萊復現時間是復現前經過的時長。对于不同的初始態和不同的要求接近的程度，此時間亦不同。定理僅適用於滿足某些條件的孤立力學系統，例如所有粒子都必須約束在某個有限體積的範圍內。定理可以放在遍歷理論、動態系統，或者統計力學的背景中討論。適用此定理的系統稱為守恆系統（英语：conservative system）（與耗散系統相對）。

定理得名自亨利·龐加萊，其於1890年討論過此定理^[5][6]。1919年，康斯坦丁·卡拉西奧多里利用測度論證明了此定理。^[7][8]

嚴謹敍述

對於任何一個由常微分方程式定義的動態系統，都有相應的流映射 f ^t，而對每個固定的 t（可當成時間）, f ^t 皆是由該系統的相空間射去相空間本身的映射。若相空間中，每個可以計算體積（稱為相體積）的子集，都在流中保持體積，則稱該系統保體積。例如，根據劉維爾定理，所有哈密頓系統皆保體積。

有了上述的背景之後，可以將定理敍述如下：若流保體積，且其所有轨道（英语：Orbit (dynamics)）皆有界，則對於相空間中每個開集，都有軌道與之相交無窮多次。^[9]

證明討論

定性理解，證明的關鍵在於兩個前提：^[10]

1. 可達（accessible）的相空間總體積具有有限的上界。對於力學系統，可要求其受限於某個有界的「實際」空間（於是，該系統不得將粒子射出至極遠處而從不返回）。如此，再加上能量守恆，就足以證明系統受限於相空間的某個有限區域。
2. 動態變化當中，有限元的相體積守恆。（對於力學系統，此條件由劉維爾定理保證。）

取相空間中任意一塊體積有限的起始區域，其按照系統的動態而移動，「掃過」相空間的一部分點。由於該區域的體積在過程中保持不變，其掃過的總體積（稱為相管，phase tube）理應隨時間線性增加（至少在起始不久後如此）。然而，由於可達的相空間總體積有限，相管的體積會達到某個飽和值，而不能一直增加，否則終會大於可達的總相體積。這正說明，相管必與自身相交。倘若要與自身相交，則必須先經過起始的區域。所以，起始體積中至少有體積非零的一部分復現（recur）。

此時，考慮起始區域中永不返回的部分。按上段的論證，若該部分的體積非零，則其必有體積非零的部分復現，但若永不返回的部分中，有一部分復現，則後者亦必返回到原始區域內，造成矛盾。所以，起始區域中永不返回的部分體積只能為零，即與起始區域相比是極小。

注意定理（並其證明）並不保證復現的若干性質：

• 仍然可能有若干個特別的始態永不返回起始區域，或是僅返回有限多次後便不再返回。然而，此種情況極為罕見，與起始區域相比僅是無窮小的部分。
• 起始區域的各部分不必同一時間復現。相管首次通過自身時，可能有一部分體積會錯過起始區域，從而該部分會較遲復現。
• 相管確實可能先窮竭可達相空間的全部體積，然後才返回到起始區域。一個簡單例子是諧振子。能夠歷遍整個可達相空間的體積的系統稱為滿足遍歷假設（英语：Ergodic hypothesis）（但此取決於「可達體積」的定義）。
• 可保證的是，從幾乎所有始態出發，系統都終將返回到某個與始態任意接近的態。復現時間取決於所要求的「近」的程度，即初始區域的相體積。若要得出更精確的復現，則須取較小的初始區域，所以所需的復現時間更長。
• 給定某個區域和其中某個相，其復現的時刻不必具周期性。第二次復現的時間不必是首次復現時間的兩倍。

形式敍述

設

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 

為總測度有限的測度空間，並設

${\displaystyle f\colon X\to X}$ 

為保測函數，即其可測，且對任意的可測子集 ${\displaystyle A\in \Sigma }$  有 ${\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A).}$  以下為定理的兩種敍述：

定理一

對任意可測子集 ${\displaystyle E\in \Sigma ,}$  ${\displaystyle E}$  中滿足：存在正整數 ${\displaystyle N}$  ，使得對任意 ${\displaystyle n>N}$  都有 ${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$  的點 ${\displaystyle x}$  的集合的測度為零。

換言之，${\displaystyle E}$  中幾乎所有點皆會返回到 ${\displaystyle E,}$  且會返回無窮多次，即

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.}$ 

證明見於所引參考資料。^[11]

定理二

以下為定理的拓撲版本：

若 ${\displaystyle X}$  為第二可數的豪斯多夫空間，而 ${\displaystyle \Sigma }$  包含其博雷爾σ-代數，則 ${\displaystyle f}$  的復現點集的測度等於 ${\displaystyle X}$  的全測度，即幾乎所有點皆復現。

證明同樣見於所引參考資料。^[12]

更一般地，定理適用於守恆系統（英语：conservative system），而不僅是保測動態系統。

量子力學版本

對於非時變的量子力學系統，若其能量特徵態離散，則有類似的定理成立。對於任意的 ${\displaystyle \varepsilon >0}$  和 ${\displaystyle T_{0}>0,}$  皆存在時間 T 大於 ${\displaystyle T_{0},}$  使得 ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,}$  其中 ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$  表示系統於時間 t 的態向量。^[13][14][15]

證明的關鍵如下。系統的狀態按下式隨時間變化：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle ,}$ 

其中 ${\displaystyle E_{n}}$  為能量特徵值（此處使用自然單位，故約化普朗克常數 ${\displaystyle \hbar =1}$ ），而 ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$  為相應的能量特徵態。時間 ${\displaystyle T}$  和時間 ${\displaystyle 0}$  的態向量的距離平方為

${\displaystyle \left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)].}$ 

可於某項 n = N 截尾，而 N 不取決於 T, 因為

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},}$ 

而又有 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1}$  收斂（此為始態的範數平方），故上式中 ${\displaystyle N}$  取很大時，能使上式的值任意小。

而有限和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$ 

按以下的構造，也能藉着揀選特定的時刻 T, 而使之任意小。取任意的 ${\displaystyle \delta >0,}$  然後取 T, 使得對於 ${\displaystyle 0\leq n\leq N,}$  都總存在整數 ${\displaystyle k_{n}}$  滿足

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta .}$ 

對此 T, 有

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$ 

於是，

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2},}$ 

亦即態向量 ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$  會回到與始態 ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$  任意接近之處。

相關條目

• 遍歷假設（英语：Ergodic hypothesis）
• 復現圖（英语：Recurrence plot）
• 復現周期密度熵（英语：Recurrence period density entropy）
• 遊蕩集
• 波茲曼大腦

參考文献

1. 庞加莱复现. 术语在线. [2020-10-15]. 
2. 叶向东、邵松. 动力系统中若干回复性问题的新进展 (PDF). 2016-04-19 [2020-10-15]. （原始内容 (PDF)于2020-10-17）. 
3. 王磊杰. 群作用下的Khintchine回归定理. 《文山学院学报》. 2011, 24 (6): 29–31. 
4. 中国科学院数学与系统科学研究院. 庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学. 数字数学博物馆. [2020-10-15]. （原始内容于2020-02-17）. 
5. Poincaré, H. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique [論三體問題及動力學方程]. Acta Math. 1890, 13: 1–270 [2020-10-05]. （原始内容于2020-11-01） （法语）. 
6. Poincaré, Œuvres VII, 262–490 (theorem 1 section 8)
7. Carathéodory, C. Über den Wiederkehrsatz von Poincaré [論龐加萊的復現定理]. Berl. Sitzungsber. 1919: 580–584 （德语）. 
8. Carathéodory, Ges. math. Schr. IV, 296–301
9. Barreira, Luis. Zambrini, Jean-Claude , 编. Poincaré recurrence: Old and new. XIVth International Congress on Mathematical Physics. World Scientific: 415–422. 2006. ISBN 978-981-256-201-2. doi:10.1142/9789812704016_0039 （英语）. 
10. Gibbs, Josiah Willard. Elementary Principles in Statistical Mechanics [統計力學的基本原理]. New York, NY: Charles Scribner's Sons. 1902. Chapter X （英语）. 
11. PlanetMath上proof of Poincaré recurrence theorem 1的資料。
12. PlanetMath上proof of Poincaré recurrence theorem 2的資料。
13. Bocchieri, P.; Loinger, A. Quantum Recurrence Theorem. Phys. Rev. 1957, 107 (2): 337–338. Bibcode:1957PhRv..107..337B. doi:10.1103/PhysRev.107.337. 
14. Percival, I.C. Almost Periodicity and the Quantal H theorem. J. Math. Phys. 1961, 2 (2): 235–239. Bibcode:1961JMP.....2..235P. doi:10.1063/1.1703705. 
15. Schulman, L. S. Note on the quantum recurrence theorem. Phys. Rev. A. 1978, 18 (5): 2379–2380. Bibcode:1978PhRvA..18.2379S. doi:10.1103/PhysRevA.18.2379. 

延伸閱讀

• Page, Don N. Information loss in black holes and/or conscious beings?. November 25, 1994. arXiv:hep-th/9411193  . 

外部連結

• Padilla, Tony. . Numberphile. Brady Haran. [2013-04-08]. （原始内容存档于2013-11-27）. 
• Arnold's Cat Map: An interactive graphical illustration of the recurrence theorem of Poincaré. [2020-10-05]. （原始内容于2020-12-23）. 

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