常微分方程

在数学分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 ${\displaystyle s}$ 和时间 ${\displaystyle t}$ 的关系就可以表示为如下常微分方程：

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}=f(s)}$；

其中 ${\displaystyle m}$ 是物体的质量，${\displaystyle f(s)}$ 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 ${\displaystyle s}$，它只以时间 ${\displaystyle t}$ 为自变量。

精确解总结

一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，${\displaystyle P(x),Q(x);P(y),Q(y)}$ 和${\displaystyle M(x,y),N(x,y)}$  是任意关于${\displaystyle x,y}$ 的可积（英语：Integrable）函数，${\displaystyle b,c}$ 是给定的实常数，${\displaystyle C,C_{1},C_{2}\ldots }$ 是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，${\displaystyle \lambda }$  和 ${\displaystyle \epsilon }$  是积分变量（求和下标的连续形式），记号${\displaystyle \int ^{x}F(\lambda )\mathrm {d} \lambda }$  只表示${\displaystyle F(\lambda )}$ 对${\displaystyle \lambda }$ 积分，在积分以后${\displaystyle \lambda {}=x}$  替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程	解法	通解
可分离方程
一阶，变量 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  均可分离（一般情况, 下面有特殊情况）^[1] ${\displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!}$  ${\displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y)\,\mathrm {d} x+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,\mathrm {d} y=0\,\!}$	分离变量（除以${\displaystyle P_{2}Q_{1}}$ ）。	${\displaystyle \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!}$
一阶，变量 ${\displaystyle x}$  可分离^[2] ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(x)\,\!}$  ${\displaystyle \mathrm {d} y=F(x)\,\mathrm {d} x\,\!}$	直接积分。	${\displaystyle y=\int ^{x}F(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +C\,\!}$
一阶自治，变量 ${\displaystyle y}$  可分离^[2] ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(y)\,\!}$  ${\displaystyle \mathrm {d} y=F(y)\,\mathrm {d} x\,\!}$	分离变量（除以 ${\displaystyle F}$ ）。	${\displaystyle x=\int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )}}+C\,\!}$
一阶，变量 ${\displaystyle x}$  和 ${\displaystyle y}$  均可分离^[2] ${\displaystyle P(y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+Q(x)=0\,\!}$  ${\displaystyle P(y)\,\mathrm {d} y+Q(x)\,\mathrm {d} x=0\,\!}$	整个积分。	${\displaystyle \int ^{y}P(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!}$
一般一阶微分方程
一阶，齐次^[2] ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\!}$	令 ${\displaystyle y=ux}$ ，然后通过分离变量 ${\displaystyle u}$  和 ${\displaystyle x}$  求解.	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{\frac {y}{x}}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\!}$
一阶，可分离变量^[1] ${\displaystyle yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!}$  ${\displaystyle yM(xy)\,\mathrm {d} x+xN(xy)\,\mathrm {d} y=0\,\!}$	分离变量（除以 ${\displaystyle xy}$ ）。	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!}$  如果${\displaystyle N=M}$ , 解为${\displaystyle xy=C}$ .
正合微分, 一阶^[2] ${\displaystyle M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!}$  ${\displaystyle M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!}$  其中 ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!}$	全部積分	${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!}$  其中 ${\displaystyle Y(y)}$  和 ${\displaystyle X(x)}$  是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数 ${\displaystyle F(x,y)}$  满足初始条件。
非正合微分（英语：Inexact differential equation）, 一阶^[2] ${\displaystyle M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!}$  ${\displaystyle M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!}$  其中${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!}$	积分因子 ${\displaystyle \mu (x,y)}$  满足 ${\displaystyle {\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!}$	如果可以得到 ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ： ${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!}$
一般二阶微分方程
二阶, 自治^[3] ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=F(y)\,\!}$	原方程乘以 ${\displaystyle {\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$  , 代换${\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\,\!}$ , 然后两次积分.	${\displaystyle x=\pm \int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!}$
线性方程 (最高到${\displaystyle n}$ 阶)
一阶线性，非齐次的函数系数^[2] ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=Q(x)\,\!}$	积分因子: ${\displaystyle e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }}$ .	${\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon }Q(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+C\right]}$
二阶线性，非齐次的常系数^[4] ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=r(x)\,\!}$	余函数 ${\displaystyle y_{c}}$ : 设 ${\displaystyle y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}}$ ，代换并解出 ${\displaystyle \alpha }$  中的多项式，求出线性无关函数 ${\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}$ 。 特解 ${\displaystyle y_{p}}$ ：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的 ${\displaystyle r(x)}$  可以直观判断。^[2]	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$  如果 ${\displaystyle b^{2}>4c}$ , 则: ${\displaystyle y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!}$  如果 ${\displaystyle b^{2}=4c}$ , 则: ${\displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}\,\!}$  如果 ${\displaystyle b^{2}<4c}$ , 则: ${\displaystyle y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!}$
${\displaystyle n}$  阶线性，非齐次常系数^[4] ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {\mathrm {d} ^{j}y}{\mathrm {d} x^{j}}}=r(x)\,\!}$	余函数 ${\displaystyle y_{c}}$ ：设 ${\displaystyle y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}}$ ，代换并解出 ${\displaystyle \alpha }$  中的多项式，求出线性无关函数 ${\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}$ . 特解 ${\displaystyle y_{p}}$ ：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的 ${\displaystyle r(x)}$  可以直观判断。^[2]	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$  由于 ${\displaystyle \alpha _{j}}$  为 ${\displaystyle n}$  阶多项式的解： ${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!}$ ，于是： 对于各不相同的 ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ， ${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!}$  每个根 ${\displaystyle \alpha _{j}}$  重复 ${\displaystyle k_{j}}$  次， ${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!}$  对于一些复数值的 αj，令 α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成 ${\displaystyle C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\!}$  的形式，其中 ϕj 为任意常量（相移）。

参见

• 微分方程
• 偏微分方程

参考资料

1. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
2. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
3. Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
4. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3