麦克劳林不等式, 数学中, maclaurin, inequality, 以科林, 麦克劳林冠名, 是算术几何平均不等式的加细, 是正实数, 定义平均, displaystyle, frac, displaystyle, cdots, cdots, displaystyle, choose, 这个分式的分子是度数为, 变元, 阶基本对称多项式, 中指标递增的任意, 个数乘积之和, 分母是分子的项数, 二项式系数, displaystyle, scriptstyle, choose, 是如下不等式链, display. 数学中 麦克劳林不等式 Maclaurin s inequality 以科林 麦克劳林冠名 是算术几何平均不等式的加细 设 a1 a2 an 是正实数 对 k 1 2 n 定义平均 Sk 为 S k 1 i 1 lt lt i k n a i 1 a i 2 a i k n k displaystyle S k frac displaystyle sum 1 leq i 1 lt cdots lt i k leq n a i 1 a i 2 cdots a i k displaystyle n choose k 这个分式的分子是度数为 n 变元 a1 a2 an 的 k 阶基本对称多项式 即 a1 a2 an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和 分母是分子的项数 二项式系数 n k displaystyle scriptstyle n choose k 麦克劳林不等式是如下不等式链 S 1 S 2 S 3 3 S n n displaystyle S 1 geq sqrt S 2 geq sqrt 3 S 3 geq cdots geq sqrt n S n 等号成立当且仅当所有 ai 相等 对 n 2 这个给出两个数通常的几何算术平均不等式 n 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式 a 1 a 2 a 3 a 4 4 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 2 a 3 a 2 a 4 a 3 a 4 6 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 4 a 1 a 3 a 4 a 2 a 3 a 4 4 3 a 1 a 2 a 3 a 4 4 displaystyle begin aligned amp quad frac a 1 a 2 a 3 a 4 4 amp geq sqrt frac a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 2 a 3 a 2 a 4 a 3 a 4 6 amp geq sqrt 3 frac a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 4 a 1 a 3 a 4 a 2 a 3 a 4 4 amp geq sqrt 4 a 1 a 2 a 3 a 4 end aligned 证明 编辑麦克劳林不等式可用牛顿不等式证明 证明的思路是运用归纳法 首先证明 S 1 S 2 displaystyle S 1 geq sqrt S 2 也就是 n 1 k 1 n a k 2 2 n 1 i lt j n n a i a j displaystyle n 1 sum k 1 n a k 2 geq 2n sum 1 leq i lt j leq n n a i a j 这个式子等价于 n 1 k 1 n a k 2 2 1 i lt j n n a i a j displaystyle n 1 sum k 1 n a k 2 geq 2 sum 1 leq i lt j leq n n a i a j 也就是 1 i lt j n n a i a j 2 0 displaystyle sum 1 leq i lt j leq n n a i a j 2 geq 0 因此成立 其次 假设对某个k 2 displaystyle k geq 2 已经证明了S k 1 k 1 S k k displaystyle sqrt k 1 S k 1 geq sqrt k S k 那么也就等于说证明了 S k 1 k S k k 1 displaystyle S k 1 k geq S k k 1 牛顿不等式说明 还有 S k 2 S k 1 S k 1 displaystyle S k 2 geq S k 1 S k 1 这个不等式两边作k 次乘幂 就得到 S k 2 k S k 1 k S k 1 k displaystyle S k 2k geq S k 1 k S k 1 k 从而 S k 2 k S k 1 k S k k 1 displaystyle S k 2k geq S k 1 k S k k 1 S k k 1 S k 1 k displaystyle S k k 1 geq S k 1 k S k k S k 1 k 1 displaystyle sqrt k S k geq sqrt k 1 S k 1 于是 综上所述 可以证明对所有的1 k n 1 displaystyle 1 leq k leq n 1 都有 S k k S k 1 k 1 displaystyle sqrt k S k geq sqrt k 1 S k 1 麦克劳林不等式得证 参见 编辑牛顿不等式 Muirhead不等式 广义平均不等式参考 编辑Biler Piotr Witkowski Alfred Problems in mathematical analysis New York N Y M Dekker 1990 ISBN 0824783123 引文使用过时参数coauthors 帮助 本條目含有来自PlanetMath MacLaurin s Inequality 的內容 版权遵守知识共享协议 署名 相同方式共享协议 取自 https zh wikipedia org w index php title 麦克劳林不等式 amp oldid 68280583, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,