魏尔施特拉斯逼近定理, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2021年11月13日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标签, 斯通, stone, weierstrass, th. 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2021年11月13日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 斯通 魏尔施特拉斯逼近定理 Stone Weierstrass theorem 有两个 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近 闭区间上周期为2 p displaystyle 2 pi 的连续函数可用三角函数级数一致逼近 第一逼近定理可以推广至R n displaystyle mathbb R n 上的有界闭集证明 编辑第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导 1 2 第二逼近定理的证明 设f t displaystyle f t 为周期为2 p displaystyle 2 pi 的连续函数 定义f a t n c n a n e i n t displaystyle f a t sum n infty infty c n a left n right e int 为一三角级数 首先证明 e i n t n displaystyle left e int right n infty infty 为一个正交函数系 e i n t e i m t 1 2 p 0 2 p e i n m t d t 0 displaystyle langle e int e imt rangle frac 1 2 pi int 0 2 pi e i n m t dt 0 e i n t e i n t e i n t 2 1 2 p 0 2 p e i n t 2 d t 1 displaystyle langle e int e int rangle e int 2 frac 1 2 pi int 0 2 pi left e int right 2 dt 1 因为 e i n t 1 displaystyle left e int right 1 故令f t n c n e i n t displaystyle f t sum n infty infty c n e int 于是我们可以求出c n f t e i n t 1 2 p 2 p 0 f t e i n t d t displaystyle c n langle f t e int rangle frac 1 2 pi int 2 pi 0 f t e int dt 将c n displaystyle c n 代入 f a t displaystyle f a t 的定义式中 有 f a t 1 2 p 2 p 0 n a n e i n t s f s d s displaystyle f a t frac 1 2 pi int 2 pi 0 sum n infty infty a left n right e in t s f s ds 下面对积分号中的和式S求和 令w a e i t s displaystyle w ae i t s 那么就有 S w 2 w 1 w w 2 displaystyle S bar w 2 bar w 1 w w 2 分成正负两部分求和 可知 S 1 W W 1 2 R e W 1 a 2 1 2 a cos t s a 2 displaystyle S 1 W bar W 1 2Re W frac 1 a 2 1 2a cos t s a 2 代回原积分 有f a t 1 2 p 2 p 0 1 a 2 1 2 a cos t s a 2 f s d s displaystyle f a t frac 1 2 pi int 2 pi 0 frac 1 a 2 1 2a cos t s a 2 f s ds 这就是f s 的泊松积分 其中p a 8 1 2 p 1 a 2 1 2 a cos 8 a 2 displaystyle p a theta frac 1 2 pi frac 1 a 2 1 2a cos theta a 2 称为泊松核 故有 f a t p p p a x f t x d x displaystyle f a t int pi pi p a x f t x dx 我们要检验的的是 f a t f t displaystyle left f a t f t right 在a 1 displaystyle a to 1 时的情况 可以证明 f a t f t lt p p p a x f t x f t d x displaystyle left f a t f t right lt int pi pi p a x left f t x f t right dx 由f t displaystyle f t 的一致连续性 可以证明 上式在a 1 displaystyle a to 1 时 满足一致收敛的条件 故我们可以用f a t displaystyle f a t 来一致逼近f t displaystyle f t 参阅 编辑傅里叶级数 柯朗 希尔伯特 数学物理方法 北京 科学出版社 2011 57 58 ISBN 978 7 03 031361 4 菲赫金哥尔茨 微积分学教程 3 路见可 余家荣 吴亲仁 译 北京 高等教育出版社 2006 480 481 ISBN 978 7 04 018305 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 魏尔施特拉斯逼近定理 amp oldid 68647617, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,