赫爾德條件

數學上，稱${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的實值函數${\displaystyle f}$適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數${\displaystyle C}$，${\displaystyle \alpha }$，使得${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.}$

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。${\displaystyle \alpha }$稱為赫爾德條件的指數。如果${\displaystyle \alpha =1}$，則函數適合利普希茨條件。如果${\displaystyle \alpha =0}$，則函數不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記${\displaystyle \Omega }$為某個歐幾里得空間的開集，赫爾德空間${\displaystyle C^{n,\alpha }(\Omega )}$所包含的函數，是直到n階微分都適合指數${\displaystyle \alpha }$的赫爾德條件。這是拓撲向量空間，可以定義半範數：

${\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},}$

對${\displaystyle n\geq 0}$，下式給出範數：

${\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}}$

其中${\displaystyle \beta }$涵蓋所有多重指標，而

${\displaystyle \|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|}$

${\displaystyle C^{0,\alpha }({\mathbb {R} })}$的例子

• 如果${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta \leq 1}$ ，那麼所有${\displaystyle C^{0,\beta }}$ 赫爾德連續函數都是${\displaystyle C^{0,\alpha }}$ 赫爾德連續的。這也包括了${\displaystyle \beta =1}$ (这里需要集合是有界的)，所以所有利普希茨連續函數都是${\displaystyle C^{0,\alpha }}$ 赫爾德連續。

• 在${\displaystyle [0,3]}$ 上定義函數${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ，${\displaystyle f}$ 不是利普希茨連續；但對${\displaystyle \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$ ，${\displaystyle f}$ 是${\displaystyle C^{0,\alpha }}$ 赫爾德連續。