賦值環

在抽象代數中，賦值環是一個域裡的一類特別子環，可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。

定義

賦值環是一个整环D，滿足其分式域 F的任一非零元素x，至少有x 或 x ⁻¹ ∈ D. 一個域 F 的子環 R 被稱作賦值環，若且唯若對每個 ${\displaystyle x\in F^{*}}$ ，必有 ${\displaystyle x\in R}$  或 ${\displaystyle x^{-1}\in R}$ 。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F的素点（位）

若 R 是主理想域，此時 R 被稱為離散賦值環。

性質

• 令${\displaystyle {\mathcal {M}}:=F-R^{*}}$ ，則 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  是 F 中唯一的極大理想。
• 承上，${\displaystyle k:=R/{\mathcal {M}}}$  被稱作 R 的剩餘域。

範例

• 任何域都是賦值环。
• Z_(p)是賦值环, ，整数环在素理想局部化，其中分子，分母是不能被p整除的任何整数组成，。分式域为有理数域Q
• 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数（泰勒级数展开为零）环是一个賦值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
• 任何一个给定的素数p p进整数环Z_p 是局部环（p进数的分式域Q_p域），p进整数环Z_p 代数闭域Z_p^cl也是一个局部环， Z_p 和 Z_p^cl都是賦值环。

设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的，如果它在于两个整数N <X <米;否则，它被称为无限。有限元素的K D是估值环。等元素x的x∈D和X-1∉D是无穷小元素的集合;一个元素x在X∉D和X-1∈D，被称为无限。 有限元的超现实领域·R环F是一个* R的估值环F由所有超现实的数字，从一个标准的真正的不同，由一个无限小的量，这相当于说超现实数x这样一些标准的整数n-N <X <N。渣场，有限的超现实数模无穷的超现实数字理想，是同构的实数。

• 令 X 為一黎曼曲面，x 為其上一點。令 ${\displaystyle R_{x}:=\{f\in \mathbb {C} (X):f(x)\neq \infty \}}$ ，則 ${\displaystyle R_{x}}$  構成一賦值環。
• 設 ${\displaystyle F}$  為域，則 ${\displaystyle F[[X]]}$  是 ${\displaystyle F((X))}$  中的賦值環。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  為 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  中的賦值環。
• 設${\displaystyle (\Gamma ,>)}$  為一有序交換群，${\displaystyle K}$  為域，${\displaystyle v:K^{*}\rightarrow \Gamma }$  為一賦值，則 ${\displaystyle R_{v}:=\{r\in R:v(r)\geq 0\}}$  為一賦值環，此時${\displaystyle v(K^{*})}$ 被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

文獻

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.