素数的倒数之和, 公元前3世纪, 欧几里得证明了素数有无穷多个, 公元十八世纪, 欧拉证明了所有发散, 这里给出一些证明, 目录, 证明一, 证明二, 参见, 外部链接证明一, 编辑ln, displaystyle, left, infty, frac, right, left, prod, frac, right, left, frac, right, displaystyle, left, frac, frac, frac, cdots, right, left, frac, right, frac, left. 公元前3世纪 欧几里得证明了素数有无穷多个 公元十八世纪 欧拉证明了所有素数的倒数之和发散 这里给出一些证明 目录 1 证明一 2 证明二 3 参见 4 外部链接证明一 编辑ln n 1 1 n ln p 1 1 p 1 p ln 1 1 p 1 p ln 1 p 1 displaystyle ln left sum n 1 infty frac 1 n right ln left prod p frac 1 1 p 1 right sum p ln left frac 1 1 p 1 right sum p ln 1 p 1 p 1 p 1 2 p 2 1 3 p 3 p 1 p p 1 p 2 1 2 1 3 p 1 4 p 2 displaystyle sum p left frac 1 p frac 1 2p 2 frac 1 3p 3 cdots right left sum p frac 1 p right sum p frac 1 p 2 left frac 1 2 frac 1 3p frac 1 4p 2 cdots right lt p 1 p p 1 p 2 1 1 p 1 p 2 p 1 p p 1 p p 1 displaystyle lt left sum p frac 1 p right sum p frac 1 p 2 left 1 frac 1 p frac 1 p 2 cdots right left sum p frac 1 p right left sum p frac 1 p p 1 right p 1 p C displaystyle left sum p frac 1 p right C 因为当n逐渐增大时 前n个整数的倒数之和趋近于ln n 所以 1 2 1 3 1 5 1 7 1 11 ln ln displaystyle frac 1 2 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 cdots ln ln infty 证明二 编辑此证明由保罗 埃尔德什给出 用反证法 假设所有素数的倒数之和收敛 定义p i displaystyle p i 为第i个素數 可得到 k 1 1 p k c displaystyle sum k 1 infty 1 over p k c 存在一个正整数i使得 k 1 1 p i k lt 1 2 displaystyle sum k 1 infty 1 over p i k lt 1 over 2 定义N x 为不超过x且不能被任何大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数 设n k m 2 displaystyle n km 2 k不再含平方因子 任何整数都可以这样 由于只有i个素数能整除k k最多只有2 i displaystyle 2 i 种选择 又因为m最多只能取x displaystyle sqrt x 个值 可得到 N x 2 i x displaystyle N x leq 2 i sqrt x 不超过x且能被某些大于第i个素数的素数整除的正整数n的个数为x N x 因为不超过x且能被p整除的整数最多有x p个 可得到 x N x lt k 1 x p i k lt x 2 displaystyle x N x lt sum k 1 infty x over p i k lt x over 2 或 x 2 lt N x 2 i x displaystyle x over 2 lt N x leq 2 i sqrt x 但这是不可能的 证毕 参见 编辑素数 布朗常数 欧拉乘积外部链接 编辑Chris K Caldwell There are infinitely many primes but how big of an infinity http www utm edu research primes infinity shtml 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 素数的倒数之和 amp oldid 70417226, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,