Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. (原始内容于2018-05-19).
十月 22, 2023
覆疊空間, 在拓撲學中, 拓撲空間x, displaystyle, 的是一對資料, displaystyle, 其中y, displaystyle, 是拓撲空間, displaystyle, 是連續的滿射, 並存在x, displaystyle, 的一組開覆盖, displaystyle, bigcup, mathcal, 使得對每個u, displaystyle, mathcal, 存在一個離散拓撲空間f, displaystyle, 及同胚, displaystyle, times, simeq, 而且p, d. 在拓撲學中 拓撲空間X displaystyle X 的覆疊空間是一對資料 Y p displaystyle Y p 其中Y displaystyle Y 是拓撲空間 p Y X displaystyle p Y to X 是連續的滿射 並存在X displaystyle X 的一組開覆盖 X U U U displaystyle X bigcup U in mathcal U U 使得對每個U U displaystyle U in mathcal U 存在一個離散拓撲空間F displaystyle F 及同胚 ϕ U U F p 1 U displaystyle phi U U times F simeq p 1 U 而且p ϕ U U F U displaystyle p circ phi U U times F to U 是對第一個坐標的投影 滿足上述性質的p Y X displaystyle p Y to X 稱為覆疊映射 當X displaystyle X 連通時 F displaystyle F 的基數是個常數 稱為覆疊的次數或重數 空間X displaystyle X 的覆疊構成一個範疇C o v X displaystyle mathbf Cov X 其對象形如p Y X displaystyle p Y to X 從p Y X displaystyle p Y to X 到q Z X displaystyle q Z to X 態射是連續映射f Y Z displaystyle f Y to Z 且q f p displaystyle q circ f p 目录 1 例子 2 性质 3 萬有覆疊空間 4 正則覆疊及主叢 5 文獻例子 编辑 nbsp 覆疊空間的例子 R S 1 displaystyle mathbb R to mathbb S 1 nbsp 考慮映射p R S 1 displaystyle p mathbb R to mathbb S 1 nbsp p x e 2 p i x displaystyle p x e 2 pi ix nbsp 對任意s e 2 p i t S 1 displaystyle s e 2 pi it in mathbb S 1 nbsp 取其開鄰域U e 2 p i s s t lt 1 2 1 2 1 2 displaystyle U e 2 pi is s t lt frac 1 2 simeq 1 2 1 2 nbsp f 1 2 1 2 Z p 1 U f t n t n displaystyle f 1 2 1 2 times mathbb Z stackrel sim to p 1 U quad f t n t n nbsp 由此可見p R S 1 displaystyle p mathbb R to mathbb S 1 nbsp 是覆疊映射 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 S 1 0 1 displaystyle mathbb S 1 times 0 1 nbsp 性质 编辑局部性质 对于任何一个覆叠p C X displaystyle p C to X nbsp 都是一个局部同胚 这就是说 对任意的c C displaystyle c in C nbsp 都存在一个在C中的开邻域U 和p c 在X中的开邻域V 使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚 这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的 如果X是单连通的且C是连通的 则在整体上也成立 并且覆叠p变为同胚 纤维上的同胚萬有覆疊空間 编辑連通空間X displaystyle X nbsp 的萬有覆疊空間 若其存在 是範疇C o v X displaystyle mathbf Cov X nbsp 的初始對象u X X displaystyle u tilde X to X nbsp 換言之 對每個覆疊p X X displaystyle p X to X nbsp 存在唯一的連續映射f X X displaystyle f tilde X to X nbsp 使得p f u displaystyle p circ f u nbsp 萬有覆疊若存在則必唯一 之前的R S 1 displaystyle mathbb R to mathbb S 1 nbsp 便是一例 若要求X displaystyle X nbsp 局部道路連通且局部單連通 則萬有覆疊空間存在 這類空間的主要例子有流形和單純複形 在同樣前提下 覆疊X X displaystyle tilde X to X nbsp 是萬有覆疊的充要條件是基本群p 1 X e displaystyle pi 1 tilde X e nbsp 正則覆疊及主叢 编辑以下同樣要求X displaystyle X nbsp 連通 局部道路連通且局部單連通 對於覆疊映射p Y X displaystyle p Y to X nbsp 選定x X displaystyle x in X nbsp 在C o v X displaystyle mathbf Cov X nbsp 中的自同構群A u t p displaystyle mathrm Aut p nbsp 在纖維p 1 x displaystyle p 1 x nbsp 上的作用是自由的 即 A u t p A u t p 1 x displaystyle mathrm Aut p to mathrm Aut p 1 x nbsp 是單射 對於x X displaystyle x in X nbsp 的不同選取 此作用僅差個自然的同構 若A u t p displaystyle mathrm Aut p nbsp 的作用是傳遞的 則稱p Y X displaystyle p Y to X nbsp 為正則覆疊 萬有覆疊必正則 反之則不然 按照纖維叢的觀點 覆疊空間正是離散纖維的纖維叢 正則覆疊對應到主叢 文獻 编辑Hatcher Allen Algebraic Topology Cambridge University Press 2002 2008 05 15 ISBN 0 521 79540 0 原始内容存档于2018 05 19 取自 https zh wikipedia org w index php title 覆疊空間 amp oldid 67733945, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,