葉赫-丘嫩樹

葉赫－丘嫩樹（英語：Jech–Kunen tree）指的是集合論中帶有與廣義連續統假設不相容的性質的樹。這種樹以曾研究此種樹存在可能性及其後果的湯瑪士·葉赫和肯尼思·丘嫩為名。

定義

${\displaystyle \omega _{1}}$ 樹指的是一顆勢為${\displaystyle \aleph _{1}}$ 、高度為${\displaystyle \omega _{1}}$ 的樹，其中${\displaystyle \omega _{1}}$ 是首個不可數序數，而${\displaystyle \aleph _{1}}$ 則是與其關聯的基數。葉赫－丘嫩樹指的是一顆分支數大於${\displaystyle \aleph _{1}}$ 但小於${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$ 的${\displaystyle \omega _{1}}$ 樹。

存在性

Thomas Jech （1971）在1971年首先發現有此樹的模型，之後Kenneth Kunen （1975）於1975年證明說，在假定連續統假設及${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}>\aleph _{2}}$ 的狀況下，葉赫－丘嫩樹的存在性等價於重量為${\displaystyle \aleph _{1}}$ 的緊緻豪斯多夫空間和大小嚴格介於${\displaystyle \aleph _{1}}$ 與${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$ 之間的基數的存在性。

參考資料

• Jech, Thomas J., Trees, Journal of Symbolic Logic, 1971, 36: 1–14, MR 0284331, doi:10.2307/2271510 
• Kunen, On the cardinality of compact spaces, Notices of the AMS, 1975, 22: 212 
• Jin, Renling, The differences between Kurepa trees and Jech-Kunen trees, Archive for Mathematical Logic, 1993, 32: 369–379