自由群, 在數學中, 一個群, displaystyle, 被稱作, 如果存在, displaystyle, 的子集, displaystyle, 使得, displaystyle, 的任何元素都能唯一地表成由, displaystyle, 中元素及其逆元組成之乘積, 在此不論平庸的表法, 例如, displaystyle, 之類, 此時也稱, displaystyle, 為集合, displaystyle, 上的, 其群結構決定於集合, displaystyle, 記為, displaystyle, displa. 在數學中 一個群 G displaystyle G 被稱作自由群 如果存在 G displaystyle G 的子集 S displaystyle S 使得 G displaystyle G 的任何元素都能唯一地表成由 S displaystyle S 中元素及其逆元組成之乘積 在此不論平庸的表法 例如 s t 1 s u 1 u t 1 displaystyle st 1 su 1 ut 1 之類 此時也稱 G displaystyle G 為集合 S displaystyle S 上的自由群 其群結構決定於集合 S displaystyle S 記為 F S displaystyle F S S displaystyle S 稱作一組基底 按照範疇論的觀點 自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象 由兩個元素a b 生成的自由群的凱萊圖 一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群 英语 free abelian group 目录 1 歷史 2 例子 3 建構方式 4 泛性質 5 性質與定理 6 自由阿貝爾群 7 塔斯基的問題 8 文獻歷史 编辑在1882年 Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念 但未加以命名 自由群 一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入 例子 编辑 2個圓環的集束 整數的加法群 Z displaystyle mathbb Z 是自由群 事實上我們可取 S 1 displaystyle S 1 在巴拿赫 塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群 以下將予說明 在代數拓撲學中 k displaystyle k 個圓環的集束 即 k displaystyle k 個只交於一點的圓環 見右圖 的基本群是 k displaystyle k 個生成元的自由群 建構方式 编辑今將構造集合 S displaystyle S 上之自由群 F S displaystyle F S 分解動作如下 對任何 s S displaystyle s in S 引入符號 s 1 displaystyle s 1 稱作 s displaystyle s 的逆元 考慮所有由符號 s s 1 s S displaystyle s s 1 s in S 構成的有限字串 如果一個字串能透過將 s s 1 displaystyle ss 1 或 s 1 s displaystyle s 1 s 替換為空字串而變為另一個字串 則稱這兩個字串等價 此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係 其商集 等價類構成的集合 記作 F S displaystyle F S 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法 證明此等價關係相容於字串的接合 即 x y x y x x y y displaystyle x sim y x sim y Rightarrow xx sim yy 故字串接合在 F S displaystyle F S 導出二元運算 並滿足交換律 取 F S displaystyle F S 及字串接合運算構成一個群 字串 s 1 1 s n 1 displaystyle s 1 pm 1 cdots s n pm 1 之逆為 s n 1 s 1 1 displaystyle s n mp 1 cdots s 1 mp 1 此即所求 若 S displaystyle S 為空集 則 F S displaystyle F S 為平凡群 泛性質 编辑上述構造 F S displaystyle F S 帶有一個自然的集合映射 ϕ S F S displaystyle phi S rightarrow F S 這對資料 F S ϕ displaystyle F S phi 滿足以下泛性質 若 G displaystyle G 為群 ps S G displaystyle psi S rightarrow G 為集合間的映射 則存在唯一的群同態 f F S G displaystyle f F S rightarrow G 使得 f ϕ ps displaystyle f circ phi psi 事實上我們僅須 也必須設 f s 1 1 s n 1 ps s 1 1 ps p n 1 displaystyle f s 1 pm 1 cdots s n pm 1 psi s 1 pm 1 cdots psi p n pm 1 前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態 任兩個滿足上述泛性質的資料 F 1 ϕ 1 displaystyle F 1 phi 1 F 2 ϕ 2 displaystyle F 2 phi 2 至多差一個同構 因而刻劃了自由群的群論性質 這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例 用範疇論的語言來說 函子 F S F S displaystyle F S mapsto F S 是遺忘函子的左伴隨函子 性質與定理 编辑任何群 G displaystyle G 皆可表為某個自由群的同態像 在上述泛性質中取 S displaystyle S 為 G displaystyle G 的一組生成集 ps 為包含映射即可 此時 F S G displaystyle F S rightarrow G 的核 R displaystyle R 稱作關係 F S K displaystyle F S K 稱作 G displaystyle G 的一個展示 若 S displaystyle S 有限 則稱之為有限展示 一個群可以有多種展示 而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法 如果 S displaystyle S 有超過一個元素 則 F S displaystyle F S 非交換 事實上 F S displaystyle F S 的中心只有單位元素 任兩個自由群 F S F T displaystyle F S F T 同構的充要條件是 S T displaystyle S T 基數相同 此基數稱作自由群的階 以下是一些相關定理 Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理 自由群的子群也是自由群 若 G displaystyle G 為 n displaystyle n 階 G H k displaystyle G H k 則 H displaystyle H 為 1 n n k displaystyle 1 n nk 階 在此設 n k displaystyle n k 有限 設 F displaystyle F 為超過一階的自由群 則對任意可數基數 n displaystyle n F displaystyle F 中都存在 n displaystyle n 階的自由子群 自由群雖然看似是離散的對象 卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究 上述 Nielsen Schreirer 定理就是一例 可運用同倫上纖維的構造證明 這套技術屬於幾何群論的一支 自由阿貝爾群 编辑更多信息 自由阿貝爾群 將上述泛性質中的 群 替換成 阿貝爾群 遂得到自由阿貝爾群的泛性質 集合 S displaystyle S 上的自由阿貝爾群可視為自由 Z displaystyle mathbb Z 模來構造 或取作 F S displaystyle F S 的 交換化 F S F S F S displaystyle F S F S F S 換言之 在考慮字串時不計符號順序 塔斯基的問題 编辑塔斯基在1945年左右提出下述問題 兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論 此理論是否可判定 目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案 但雙方的證明都尚未被認可 請參見網址 1 的 O8 文獻 编辑Kharlampovich Olga Myasnikov Alexei Elementary theory of free non abelian groups J Algebra 2006 302 2 451 552 doi 10 1016 j jalgebra 2006 03 033 數學評論2293770 W Magnus A Karrass and D Solitar Combinatorial Group Theory Dover 1976 Sela Z Diophantine geometry over groups VI The elementary theory of a free group Geom Funct Anal 16 2006 3 707 730 數學評論2238945 J P Serre Trees Springer 2003 English translation of arbres amalgames SL2 3rd edition asterisque 46 1983 取自 https zh wikipedia org w index php title 自由群 amp oldid 67739129, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,