自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称为自反的，也被称为具有自反性。自反關係的一個例子是關於實數集合的“等於”關係，因為每個實數都等於它自己。对称性、传递性以及自反性是定義等價關係的三個屬性。
定义 对于集合X上的二元关系R，若满足：取X裡任一元素a，且滿足對於所有a皆存在(a,a)在R集合中，则称二元关系R是自反的，或称R具有自反性，或称R为自反关系。
相关概念 ，a = a，在一些系统中称为相等公理。
一個反自反（irreflexive, anti-reflexive）的關係，是在一個集合中沒有元素與自身相關的二元關係。例如實數上的“大於”關係（x> y）。請注意，沒有自反的各種關係，並不全都是反自反的；有些關係中，部分元素與自己相關，而部分不是。例如，“x和y的乘積是偶數”的二元關係在偶數集上是自反的，在奇數集上是反自反的，在自然數集上既不是自反，也不是反自反。
關於集合S上的一個關係，如果與某個元素相關的每個元素也與它自己有關，形式上就稱為準自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一個例子是關於實數序列集合的“具有相同極限”的關係：並不是每個序列都有一個極限，因此這個關係不是自反的，但是如果一個序列與某個序列具有相同的極限，具有與其本身相同的限制。
S上二元關係的自反閉包是S上最小的自反關係，它是〜的超集。等價地，它是S與S上的同一性關係的聯合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反閉包是x≤y。
在集合S上的二元關係的自反性約化或反自反核是最小的關係≆，使得≆共享與〜相同的自反閉包。它可以被看作是自反封閉的反面。 它相當於S上關於〜的形式關係的補充，形式上是：（≆）=（〜）\（=）。也就是說，除了x〜x是真的，它相當於〜。例如，x≤y的自反減少是x <y。
特殊的自反关系举例n元素集合之上的關係 一個“n”-元素集合上，自反關係的數目是2n2−n.[1]
參考文獻 - ^ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763
自反关系, 是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系, 这样的二元关系被称为自反的, 也被称为具有自反性, 自反關係的一個例子是關於實數集合的, 等於, 關係, 因為每個實數都等於它自己, 对称性, 传递性以及自反性是定義等價關係的三個屬性, 目录, 定义, 相关概念, 特殊的, 举例, n元素集合之上的關係, 參考文獻定义, 编辑对于集合x上的二元关系r, 若满足, 取x裡任一元素a, 且滿足對於所有a皆存在, 在r集合中, 则称二元关系r是自反的, 或称r具有自反性, 或称r为, 相关概念, 编辑, display. 自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系 这样的二元关系被称为自反的 也被称为具有自反性 自反關係的一個例子是關於實數集合的 等於 關係 因為每個實數都等於它自己 对称性 传递性以及自反性是定義等價關係的三個屬性 目录 1 定义 2 相关概念 3 特殊的自反关系 4 举例 5 n元素集合之上的關係 6 參考文獻定义 编辑对于集合X上的二元关系R 若满足 取X裡任一元素a 且滿足對於所有a皆存在 a a 在R集合中 则称二元关系R是自反的 或称R具有自反性 或称R为自反关系 相关概念 编辑 a X displaystyle forall a in X a a 在一些系统中称为相等公理 一個反自反 irreflexive anti reflexive 的關係 是在一個集合中沒有元素與自身相關的二元關係 例如實數上的 大於 關係 x gt y 請注意 沒有自反的各種關係 並不全都是反自反的 有些關係中 部分元素與自己相關 而部分不是 例如 x和y的乘積是偶數 的二元關係在偶數集上是自反的 在奇數集上是反自反的 在自然數集上既不是自反 也不是反自反 關於集合S上的一個關係 如果與某個元素相關的每個元素也與它自己有關 形式上就稱為準自反 x y S x y x x y y 一個例子是關於實數序列集合的 具有相同極限 的關係 並不是每個序列都有一個極限 因此這個關係不是自反的 但是如果一個序列與某個序列具有相同的極限 具有與其本身相同的限制 S上二元關係的自反閉包是S上最小的自反關係 它是 的超集 等價地 它是S與S上的同一性關係的聯合 形式如下 例如 x lt y的自反閉包是x y 在集合S上的二元關係的自反性約化或反自反核是最小的關係 使得 共享與 相同的自反閉包 它可以被看作是自反封閉的反面 它相當於S上關於 的形式關係的補充 形式上是 也就是說 除了x x是真的 它相當於 例如 x y的自反減少是x lt y 特殊的自反关系 编辑满足传递性的自反关系称为预序关系 满足反对称性的预序关系称为偏序关系 满足对称性的预序关系称为等价关系 举例 编辑 自反关系举例 等于 是 的子集 集合的包含 小于等于 大于等于 整除n元素集合之上的關係 编辑一個 n 元素集合上 自反關係的數目是2n2 n 1 n元集上各種二元關係的數目 n 全部 遞移 自反 預序 偏序 全預序 英语 Strict weak ordering 全序 等價0 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 1 1 1 12 16 13 4 4 3 3 2 23 512 171 64 29 19 13 6 54 65536 3994 4096 355 219 75 24 15n 2n2 2n2 n Snk 0 k S 英语 Stirling numbers of the second kind n k n Snk 0 S 英语 Stirling numbers of the second kind n k OEIS A002416 A006905 A053763 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110參考文獻 编辑 On Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763 取自 https zh wikipedia org w index php title 自反关系 amp oldid 69588597, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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