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^Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.
一月 31, 2023
支撑集, 在数学中, 一个定义在集合x, displaystyle, 上的实值函数f, displaystyle, 或简称支集, 是指x, displaystyle, 的一个子集, 满足f, displaystyle, 恰好在这个子集上非0, displaystyle, 最常见的情形是, displaystyle, 是一个拓扑空间, 比如实数轴等等, 而函数f, displaystyle, 在此拓扑下连续, 此时, displaystyle, 的被定义为这样一个闭集c, displaystyle, displays. 在数学中 一个定义在集合X displaystyle X 上的实值函数f displaystyle f 的支撑集 或简称支集 是指X displaystyle X 的一个子集 满足f displaystyle f 恰好在这个子集上非0 displaystyle 0 最常见的情形是 X displaystyle X 是一个拓扑空间 比如实数轴等等 而函数f displaystyle f 在此拓扑下连续 此时 f displaystyle f 的支撑集被定义为这样一个闭集C displaystyle C f displaystyle f 在X C displaystyle X backslash C 中为0 displaystyle 0 且不存在C displaystyle C 的真闭子集也满足这个条件 即 C displaystyle C 是所有这样的子集中最小的一个 拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包 特别地 在概率论中 一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包 目录 1 闭支撑 2 紧支撑 3 奇支集 4 支撑族 5 参考文献闭支撑 编辑常见的情况出现为 X displaystyle X 是一个拓扑空间 例如实轴或n维欧几里得空间 并且f X R displaystyle f X to mathbb R 是连续的实值函数 或复值函数 此时 f displaystyle f 的支撑在拓扑上定义为使得f displaystyle f 非零的X displaystyle X 子集的闭包 1 2 3 即 supp f cl X x X f x 0 f 1 0 c displaystyle operatorname supp f operatorname cl X left x in X f x neq 0 right overline f 1 left 0 c right 由于闭集的交集也是闭集 所以supp f displaystyle operatorname supp f 是集合论中所有包含f displaystyle f 支撑的闭集的交集 例如 f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R 定义如下 f x 1 x 2 if x lt 1 0 if x 1 displaystyle f x begin cases 1 x 2 amp text if x lt 1 0 amp text if x geq 1 end cases f displaystyle f 的支撑是闭区间 1 1 displaystyle 1 1 因为f displaystyle f 在开区间 1 1 displaystyle 1 1 非零 其闭包为 1 1 displaystyle 1 1 闭支撑的概念通常用于描述连续函数 但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义 有些作者不要求 f X R displaystyle f X to mathbb R 或 f X C displaystyle f X to mathbb C 不需要 连续 4 紧支撑 编辑如果某函数的支撑集是 X displaystyle X 中的一个紧集 此函数被称为是紧支撑於空间 X displaystyle X 的 例如 若 X displaystyle X 是实数轴 那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的 事实上 这是函数必须在有界集外为0 displaystyle 0 的一个特例 在好的情形下 紧支撑的函数所构成的集合 在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中 是稠密集的 当然在给定的具体问题中 这一点可能需要相当的工作才能验证 例如对于任何给定的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 一个定义在实数轴 X displaystyle X 上的函数 f displaystyle f 在无穷远处消失 可以粗略通过选取一个紧子集 C displaystyle C 来描述 f x 1 C x f x lt ϵ displaystyle f x 1 C x f x lt epsilon 其中 1 C x displaystyle 1 C x 表示 C displaystyle C 的指示函数 注意 任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的 当然也可以更一般地 将支撑集的概念推广到分布 比如狄拉克函数 定义在直线上的 d x displaystyle delta x 此时 我们考虑一个测试函数 F displaystyle F 并且 F displaystyle F 是光滑的 其支撑集不包括 0 displaystyle 0 由于 d F displaystyle delta F 即 d displaystyle delta 作用于 F displaystyle F 为 0 displaystyle 0 所以我们说 d displaystyle delta 的支撑集为 0 displaystyle 0 注意实数轴上的测度 包括概率测度 都是分布的特殊情况 所以我们也可以定义一个测度支撑集 奇支集 编辑在傅立叶分析的研究中 一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义 直观地说 这个集合的元素都是所谓的奇异点 即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点 例如 单位阶跃函数的傅立叶变换 在忽略常数因子的情况下 可以被认为是1 x displaystyle 1 x 但这在x 0 displaystyle x 0 时是不成立的 所以很明显地 x 0 displaystyle x 0 是一个特殊的点 更准确地说 这个分布的傅立叶变换的奇支集是 0 displaystyle 0 即对于一个支撑集包括0 displaystyle 0 的测试函数而言 这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用 当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分 对于多变量的分布 奇支集也可以更精确地被描述为波前集 从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理 奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象 如在试图将分布 相乘 时候导致的问题 狄拉克函数的平方是不存在的 因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交 支撑族 编辑支撑族是一个抽象的拓扑概念 昂利 嘉当在一个层中定义了这个概念 在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候 在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的 Bredon的书 Sheaf Theory 第二版 1997 中给出了这些定义 X displaystyle X 的一组闭子集F displaystyle Phi 是一个支撑族 如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的 它的扩张是F displaystyle Phi 的并 一个仿紧化 paracompactifying 的支撑族对于任何Y F displaystyle Y in Phi 在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间 并且存在一些Z P i displaystyle Z in Pi 是一个邻域 如果X displaystyle X 是一个局部紧空间 并且是豪斯多夫空间 所有的紧子集组成的族满足上的条件 那么就是仿紧化的 参考文献 编辑 Folland Gerald B Real Analysis 2nd ed New York John Wiley 1999 132 Hormander Lars Linear Partial Differential Equations I 2nd ed Berlin Springer Verlag 1990 14 Pascucci Andrea PDE and Martingale Methods in Option Pricing Bocconi amp Springer Series Berlin Springer Verlag 2011 678 ISBN 978 88 470 1780 1 doi 10 1007 978 88 470 1781 8 Rudin Walter Real and Complex Analysis 3rd ed New York McGraw Hill 1987 38 取自 https zh wikipedia org w index php title 支撑集 amp oldid 74770070, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,