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算术拓扑

二月 20, 2023

算术拓扑（arithmetic topology）是结合了代数数论与拓扑学的数学领域。它在代数数域和封闭可定向的三维流形之间建立起类比。

类比

以下是数域和三维流形之间的一些类比[1]：

  1. 数域对应封闭、可定向的三维流形。
  2. 整数环的理想对应link，素理想对应扭结。
  3. 有理数域 对应三维球面。

历史

在1960年代，约翰·泰特基于伽罗瓦上同调给出了类域论的拓扑解释[2]，迈克尔·阿廷与让-路易·韦迪耶基于平展上同调也给出了类似解释[3]。之后戴维·芒福德与尤里·马宁各自独立地提出素理想与扭结的类比[4]，Barry Mazur作了进一步的研究[5][6]。在1990年代Reznikov[7]与Kapranov[8]开始研究这些类比，并首创术语“算术拓扑”来称呼这一研究领域。

另见

参考文献

  1. ^ Sikora, Adam S. "Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields." Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
  2. ^ J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, p. 288-295).
  3. ^ M. Artin and J.-L. Verdier, Seminar on étale cohomology of number fields, Woods Hole Archived May 26, 2011, at the Wayback Machine, 1964.
  4. ^ Who dreamed up the primes=knots analogy? （页面存档备份，存于互联网档案馆） Archived July 18, 2011, at the Wayback Machine, neverendingbooks, lieven le bruyn's blog, may 16, 2011,
  5. ^ Remarks on the Alexander Polynomial （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Barry Mazur, c.1964
  6. ^ B. Mazur, Notes on ´etale cohomology of number fields （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Ann. scient. ´Ec. Norm. Sup. 6 (1973), 521-552.
  7. ^ A. Reznikov, Three-manifolds class field theory (Homology of coverings for a nonvirtually b1-positive manifold) （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Sel. math. New ser. 3, (1997), 361–399.
  8. ^ M. Kapranov, Analogies between the Langlands correspondence and topological quantum field theory, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.

延伸阅读

外部链接

二月 20, 2023
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