相对熵

KL散度（Kullback-Leibler divergence，簡稱KLD）^[1]，在訊息系统中称为相对熵（relative entropy），在连续时间序列中称为随机性（randomness），在统计模型推断中称为訊息增益（information gain）。也称訊息散度（information divergence）。

KL散度是两个機率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来度量使用基于Q的分布来编码服从P的分布的样本所需的额外的平均比特数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布、估计的模型分布、或P的近似分布。^[1]

定義

對於离散隨機变量，其機率分布P 和 Q的KL散度可按下式定義為

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=-\sum _{i}P(i)\ln {\frac {Q(i)}{P(i)}}.\!}$ 

等价于

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{i}P(i)\ln {\frac {P(i)}{Q(i)}}.\!}$ 

即按機率P求得的P和Q的對數商的平均值。KL散度僅當機率P和Q各自總和均為1，且對於任何i皆滿足${\displaystyle Q(i)>0}$ 及${\displaystyle P(i)>0}$ 時，才有定義。式中出現${\displaystyle 0\ln 0}$ 的情況，其值按0處理。

對於連續隨機變量，其機率分佈P和Q可按積分方式定義為 ^[2]

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\frac {p(x)}{q(x)}}\,{\rm {d}}x,\!}$ 

其中p和q分別表示分佈P和Q的密度。

更一般的，若P和Q為集合X的機率測度，且P關於Q絕對連續，則從P到Q的KL散度定義為

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P,\!}$ 

其中，假定右側的表達形式存在，則${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}}$ 為Q關於P的R–N導數。

相應的，若P關於Q絕對連續，則

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P=\int _{X}{\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}Q,}$ 

即為P關於Q的相對熵。

特性

相對熵的值為非負數：

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)\geq 0,\,}$ 

由吉布斯不等式可知，當且僅當${\displaystyle P=Q}$ 時${\displaystyle D_{KL}(P\|Q)}$ 為零。

尽管从直觉上KL散度是个度量或距离函数, 但是它实际上并不是一个真正的度量或距離。因為KL散度不具有对称性：从分布P到Q的距离通常并不等于从Q到P的距离。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)\neq D_{\mathrm {KL} }(Q\|P)}$ 

KL散度和其它量的关系

自信息和KL散度

${\displaystyle I(m)=D_{\mathrm {KL} }(\delta _{im}\|\{p_{i}\}),}$ 

互信息和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&=D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P(X)P(Y))\\&=\mathbb {E} _{X}\{D_{\mathrm {KL} }(P(Y|X)\|P(Y))\}\\&=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(P(X|Y)\|P(X))\}\end{aligned}}}$ 

信息熵和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X)&=\mathrm {(i)} \,\mathbb {E} _{x}\{I(x)\}\\&=\mathrm {(ii)} \log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X)\|P_{U}(X))\end{aligned}}}$ 

条件熵和KL散度

${\displaystyle {\begin{aligned}H(X|Y)&=\log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P_{U}(X)P(Y))\\&=\mathrm {(i)} \,\,\log N-D_{\mathrm {KL} }(P(X,Y)\|P(X)P(Y))-D_{\mathrm {KL} }(P(X)\|P_{U}(X))\\&=H(X)-I(X;Y)\\&=\mathrm {(ii)} \,\log N-\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(P(X|Y)\|P_{U}(X))\}\end{aligned}}}$ 

交叉熵和KL散度

${\displaystyle \mathrm {H} (p,q)=\mathrm {E} _{p}[-\log q]=\mathrm {H} (p)+D_{\mathrm {KL} }(p\|q).\!}$ 

參考文獻

1. Kullback, S.; Leibler, R. A. On Information and Sufficiency. The Annals of Mathematical Statistics. 1951-03, 22 (1) [2022-08-15]. ISSN 0003-4851. doi:10.1214/aoms/1177729694. （原始内容于2022-08-18）. 
2. C. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. p. 55.