环同态, 此條目没有列出任何参考或来源, 2018年5月14日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 在环论或抽象代数中, 是指两个环r與s之间的映射f保持两个环的加法与乘法运算, 更加精确地, 如果r和s是环, 则是一个函数f, 使得, 对于r内的所有a和b, 对于r内的所有a和b, 如果我们不要求环具有乘法单位元, 则最后一个条件不需要, 目录, 性质, 例子, 的种类, 参见性质, 编辑直接从这些定义, 我们可以推出, 如果a在r内. 此條目没有列出任何参考或来源 2018年5月14日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 在环论或抽象代数中 环同态是指两个环R與S之间的映射f保持两个环的加法与乘法运算 更加精确地 如果R和S是环 则环同态是一个函数f R S 使得 f a b f a f b 对于R内的所有a和b f ab f a f b 对于R内的所有a和b f 1 1 如果我们不要求环具有乘法单位元 则最后一个条件不需要 目录 1 性质 2 例子 3 环同态的种类 4 参见性质 编辑直接从这些定义 我们可以推出 f 0 0 f a f a 如果a在R内具有乘法逆元 则f a 在S内具有乘法逆元 且有f a 1 f a 1 f的核 定义为ker f a in R f a 0 是R内的一个理想 每一个交换环R内的理想都可以从某个环同态用这种方法得出 对于具有单位元的环 环同态的核是一个没有单位元的子环 环同态f是单射 当且仅当ker f 0 f的像 im f 是S的一个子环 如果f是双射 那么它的逆映射f 1也是环同态 在这种情况下 f称为同构 在环论的立场下 同构的环不能被区分 如果存在一个环同态f R S 那么S的特征整除R的特征 这有时候可以用来证明在一定的环R和S之间 不存在环同态R S 如果R是一个域 则f要么是单射 要么是零函数 但是 如果f保持乘法单位元 则它不能是零函数 如果R和S都是域 则im f 是S的一个子域 如果f不是零函数 如果R和S是交换环 S没有零因子 则ker f 是R的一个素理想 如果R和S是交换环 S是一个域 且f是满射 则ker f 是R的一个最大理想 对于每一个环R 都存在一个唯一的环同态Z R 这就是说 整数环是环范畴中的始对象 例子 编辑函数f Z Zn 由f a a n a mod n定义 是一个满射的环同态 它的核为nZ 当n gt 1时 不存在环同态Zn Z 如果R X 表示变量为X的所有实系数多项式的环 C表示复数域 则函数f R X C 由f p p i 定义 在多项式p中用虚数单位i来代替变量X 是一个满射的环同态 f的核由R X 内所有能被X2 1整除的多项式组成 环同态的种类 编辑双射的环同态称为环同构 定义域与值域相同的环同态称为环自同态 在环范畴中 单射的环同态与单同态是相等的 如果f R S是单同态而不是单射 则它把某个r1和r2映射到S的同一个元素 考虑从Z x 到R的两个映射g1和g2 分别把x映射到r1和r2 f o g1和f o g2是相等的 但由于f是单同态 这是不可能的 然而 在环范畴中 满射的环同态与满同态是非常不同的 例如 Z Q是满同态 但不是满射 参见 编辑同态 取自 https zh wikipedia org w index php title 环同态 amp oldid 67754328, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,