正则化 (数学)

在数学与计算机科学中，尤其是在机器学习和逆问题领域中，正则化（英语：regularization）是指为解决适定性问题或过拟合而加入额外信息的过程。^[1]

在机器学习和逆问题的优化过程中，正则项往往被加在目标函数当中。

概述

概括来讲，机器学习的训练过程，就是要找到一个足够好的函数${\displaystyle F^{*}}$ 用以在新的数据上进行推理。^[2]为了定义什么是「好」，人们引入了损失函数的概念。一般地，对于样本${\displaystyle ({\vec {x}},y)}$ 和模型${\displaystyle F}$ ，有预测值${\displaystyle {\hat {y}}=F({\vec {x}})}$ 。损失函数是定义在${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 上的二元函数${\displaystyle \ell (y,{\hat {y}})}$ ，用来描述基准真相和模型预测值之间的差距。一般来说，损失函数是一个有下确界的函数；当基准真相和模型预测值足够接近，损失函数的值也会接近该下确界。

因此，机器学习的训练过程可以被转化为训练集${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 上的最小化问题。我们的目标是在泛函空间内，找到使得全局损失${\displaystyle L(F)=\sum _{i\in {\mathcal {D}}}\ell (y_{i},{\hat {y}}_{i})}$ 最小的模型${\displaystyle F^{*}}$ 。

${\displaystyle F^{*}:=\mathop {\text{arg min}} _{F}L(F).}$ 

由于损失函数只考虑在训练集上的经验风险，这种做法可能会导致过拟合。为了对抗过拟合，我们需要向损失函数中加入描述模型复杂程度的正则项${\displaystyle \Omega (F)}$ ，将经验风险最小化问题转化为结构风险最小化。

${\displaystyle F^{*}:=\mathop {\text{arg min}} _{F}{\text{Obj}}(F)=\mathop {\text{arg min}} _{F}{\bigl (}L(F)+\gamma \Omega (F){\bigr )},\qquad \gamma >0.}$ 

这里，${\displaystyle {\text{Obj}}(F)}$ 称为目标函数，它描述模型的结构风险；${\displaystyle L(F)}$ 是训练集上的损失函数；${\displaystyle \Omega (F)}$ 是正则项，描述模型的复杂程度；${\displaystyle \gamma }$ 是用于控制正则项重要程度的参数。正则项通常包括对光滑度及向量空间内范数上界的限制。^[3]${\displaystyle L_{p}}$ -范数是一种常见的正则项。

在贝叶斯学派的观点（英语：Bayesian_interpretation_of_kernel_regularization）看来，正则项是在模型训练过程中引入了某种模型参数的先验分布。

Lp正则项

所谓范数即是抽象之长度，通常意义上满足长度的三种性质：非负性、齐次性和三角不等式。

以函数的观点来看，范数是定义在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 的函数；并且它和损失函数类似，也具有下确界。后一性质是由范数的非负性和齐次性保证的^[4]。这一特性使得${\displaystyle L_{p}}$ -范数天然适合做正则项，因为目标函数仍可用梯度下降等方式求解最优化问题。${\displaystyle L_{p}}$ -范数作为正则项时被称为${\displaystyle L_{p}}$ -正则项。

L0和L1正则项

机器学习模型当中的参数，可形式化地组成参数向量，记为${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ 。不失一般性，以线性模型为例：

${\displaystyle F({\vec {x}};{\vec {\omega }}):={\vec {\omega }}^{\intercal }\cdot {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\cdot x_{i}.}$ 

由于训练集当中统计噪声的存在，冗余的特征可能成为过拟合的一种来源。这是因为，对于统计噪声，模型无法从有效特征当中提取信息进行拟合，故而会转向冗余特征。为了对抗此类过拟合现象，人们会希望让尽可能多的${\displaystyle \omega _{i}}$ 为零。为此，最直观地，可以引入${\displaystyle L_{0}}$ -正则项

${\displaystyle \Omega {\bigl (}F({\vec {x}};{\vec {\omega }}){\bigr )}:=\gamma _{0}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{0}}{n}},\;\gamma _{0}>0.}$ 

通过引入${\displaystyle L_{0}}$ -正则项，人们实际上是向优化过程引入了一种惩罚机制：当优化算法希望增加模型复杂度（此处特指将原来为零的参数${\displaystyle \omega _{i}}$ 更新为非零的情形）以降低模型的经验风险（即降低全局损失）时，在结构风险上进行大小为${\displaystyle {\tfrac {\gamma _{0}}{n}}}$ 的惩罚。于是，当增加模型复杂度在经验风险上的收益不足${\displaystyle {\tfrac {\gamma _{0}}{n}}}$ 时，整个结构风险实际上会增大而非减小。因此优化算法会拒绝此类更新。

引入${\displaystyle L_{0}}$ -正则项可使模型参数稀疏化，以及使得模型易于解释。但${\displaystyle L_{0}}$ -正则项也有无法避免的问题：非连续、非凸、不可微。因此，在引入${\displaystyle L_{0}}$ -正则项的目标函数上做最优化求解，是一个无法在多项式时间内完成的问题。于是，人们转而考虑${\displaystyle L_{0}}$ -范数的最紧凸放松——${\displaystyle L_{1}}$ -范数，令

${\displaystyle \Omega {\bigl (}F({\vec {x}};{\vec {\omega }}){\bigr )}:=\gamma _{1}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{1}}{n}},\;\gamma _{1}>0.}$ 

和引入${\displaystyle L_{0}}$ -正则项的情况类似，引入${\displaystyle L_{1}}$ -正则项是在结构风险上进行大小为${\displaystyle {\tfrac {\gamma _{1}|\omega _{i}|}{n}}}$ 的惩罚，以达到稀疏化的目的。

${\displaystyle L_{1}}$ -正则项亦称LASSO-正则项。^[5][6]

L2正则项

 

图中左侧是训练集，右侧是验证集。训练集和验证集数据均是由线性函数加上一定的随机扰动生成的。图中橙色直线是以线性模型拟合训练集数据得到模型的函数曲线；绿色虚线则是以15-阶多项式模型拟合训练数据得到模型的函数曲线。由此可見，儘管多项式模型在训练集上的误差小于线性模型，但在验证集上的误差则显著大于线性模型。此外，多项式模型为了拟合噪声点，在噪声点附近进行了高曲率的弯折。这说明多项式模型过拟合了训练集数据。

在发生过拟合时，模型的函数曲线往往会发生剧烈的弯折，这意味着模型函数在局部的切线之斜率非常高。一般地，函数的曲率是函数参数的线性组合或非线性组合。为了对抗此类过拟合，人们会希望使得这些参数的值相对稠密且均匀地集中在零附近。于是，人们引入了${\displaystyle L_{2}}$ -范数，作为${\displaystyle L_{2}}$ -正则项。令

${\displaystyle \Omega {\bigl (}F({\vec {x}};{\vec {w}}){\bigr )}:=\gamma _{2}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{2}^{2}}{2n}},\;\gamma _{2}>0,}$ 

于是有目标函数

${\displaystyle {\text{Obj}}(F)=L(F)+\gamma _{2}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{2}^{2}}{2n}},}$ 

於是對於參數${\displaystyle \omega _{i}}$ 取偏微分

${\displaystyle {\frac {\partial {\text{Obj}}}{\partial \omega _{i}}}={\frac {\partial L}{\partial \omega _{i}}}+{\frac {\gamma _{2}}{n}}\omega _{i}.}$ 

因此，在梯度下降时，参数${\displaystyle \omega _{i}}$ 的更新

${\displaystyle \omega '_{i}\gets \omega _{i}-\eta {\frac {\partial L}{\partial \omega _{i}}}-\eta {\frac {\gamma _{2}}{n}}\omega _{i}={\Bigl (}1-\eta {\frac {\gamma _{2}}{n}}{\Bigr )}\omega _{i}-\eta {\frac {\partial L}{\partial \omega _{i}}}.}$ 

注意到${\displaystyle \eta {\tfrac {\gamma _{2}}{n}}}$ 通常是介于${\displaystyle (0,\,1)}$ 之间的数^[7]，${\displaystyle L_{2}}$ -正则项会使得参数接近零，从而对抗过拟合。

${\displaystyle L_{2}}$ -正则项又称Tikhonov-正则项或Ridge-正则项。

提前停止

主条目：提前停止

提前停止可看做是时间维度上的正则化。直觉上，随着迭代次数的增加，如梯度下降这样的训练算法倾向于学习愈加复杂的模型。在时间维度上进行正则化有助于控制模型复杂度，提升泛化能力。在实践中，提前停止一般是在训练集上进行训练，而后在统计上独立的验证集上进行评估；当模型在验证集上的性能不再提升时，就提前停止训练。最后，可在测试集上对模型性能做最后测试。

参考文献

1. Bühlmann, Peter; Van De Geer, Sara. Statistics for High-Dimensional Data. Springer Series in Statistics: 9. 2011. ISBN 978-3-642-20191-2. doi:10.1007/978-3-642-20192-9. If p > n, the ordinary least squares estimator is not unique and will heavily overfit the data. Thus, a form of complexity regularization will be necessary. 
2. Ron Kohavi; Foster Provost. Glossary of terms. Machine Learning. 1998, 30: 271–274 [2019-12-10]. （原始内容于2019-11-11）. 
3. Bishop, Christopher M. Pattern recognition and machine learning Corr. printing. New York: Springer. 2007. ISBN 978-0387310732. 
4. 范数的非负性保证了范数有下界。当齐次性等式${\displaystyle \lVert c\cdot {\vec {x}}\rVert =|c|\cdot \lVert {\vec {x}}\rVert }$ 中的${\displaystyle c}$ 取零时可知，零向量的范数是零，这保证了范数有下确界。
5. Santosa, Fadil; Symes, William W. Linear inversion of band-limited reflection seismograms.. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing (SIAM). 1986, 7 (4): 1307–1330. doi:10.1137/0907087. 
6. Tibshirani, Robert. Regression Shrinkage and Selection via the lasso. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (methodological) (Wiley). 1996, 58 (1): 267–88. JSTOR 2346178. 
7. 可通过恰当地调整学习率${\displaystyle \eta }$ 与正则系数${\displaystyle \gamma _{2}}$ 来满足这一点。

外部链接

• 谈谈 ${\displaystyle L_{1}}$  与 ${\displaystyle L_{2}}$ -正则项 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （中文）