欧拉定理, 几何, 提示, 此条目的主题不是欧拉公式或欧拉定理, 数论, 在平面几何学中的欧拉定理是说, 三角形的外心与内心之间的距离d, displaystyle, 可表示为d, displaystyle, sqrt, displaystyle, 其中r, displaystyle, 为外接圆半径, displaystyle, 为内切圆半径, 从欧拉定理可推出欧拉不等式, 當三角形等邊時, 等號成立, displaystyle, displaystyle, 证明, 编辑, nbsp, 當d, displaysty. 提示 此条目的主题不是欧拉公式或欧拉定理 数论 在平面几何学中的欧拉定理是说 三角形的外心与内心之间的距离d displaystyle d 可表示为d I O R R 2 r displaystyle d IO sqrt R R 2r d 2 R R 2 r displaystyle d 2 R R 2r 其中R displaystyle R 为外接圆半径 r displaystyle r 为内切圆半径 从欧拉定理可推出欧拉不等式 當三角形等邊時 等號成立 R displaystyle R 2 r displaystyle 2r 证明 编辑 nbsp 1 當d 0 displaystyle d 0 nbsp 時 表示外心O displaystyle O nbsp 與內心I displaystyle I nbsp 重合 此時易證三角形A B C displaystyle displaystyle ABC nbsp 為正三角形 且R 2 r displaystyle R 2r nbsp 因此d 2 R R 2 r displaystyle displaystyle d 2 R R 2r nbsp 2 當d displaystyle d nbsp 大於0 displaystyle 0 nbsp 時 請參考右下圖 a 设三角形A B C displaystyle ABC nbsp 的外心为O displaystyle O nbsp 内心为I displaystyle I nbsp 延长A I displaystyle AI nbsp 交外接圆于L displaystyle L nbsp 则L displaystyle L nbsp 为弧B C displaystyle BC nbsp 的中点 连L O displaystyle LO nbsp 延长交外接圆于M displaystyle M nbsp 过I displaystyle I nbsp 作I D displaystyle ID nbsp 垂直于A B displaystyle AB nbsp D displaystyle D nbsp 为垂足 则I D r displaystyle ID r nbsp 易证三角形A D I displaystyle displaystyle ADI nbsp 与三角形M B L displaystyle displaystyle MBL nbsp 相似 故I D B L A I M L displaystyle frac ID BL frac AI ML nbsp 即I D M L A I B L displaystyle ID times ML AI times BL nbsp 所以2 R r A I B L displaystyle 2Rr AI times BL nbsp b 连接B I displaystyle displaystyle BI nbsp 因 B I L B A I A B I B A C 2 A B C 2 displaystyle angle BIL angle BAI angle ABI frac angle BAC 2 frac angle ABC 2 nbsp I B L I B C C B L A B C 2 B A C 2 displaystyle angle IBL angle IBC angle CBL frac angle ABC 2 frac angle BAC 2 nbsp 所以 B I L I B L displaystyle angle BIL angle IBL nbsp 有B L I L displaystyle displaystyle BL IL nbsp 由 a 的結論知A I I L 2 R r displaystyle AI cdot IL 2Rr nbsp c 設O I displaystyle displaystyle OI nbsp 延长线交外接圆于P Q displaystyle displaystyle P displaystyle Q nbsp 两点 则P I Q I A I I L 2 R r displaystyle PI cdot QI AI cdot IL 2Rr nbsp 所以 R d R d 2 R r displaystyle displaystyle R d R d 2Rr nbsp 即d 2 R R 2 r displaystyle displaystyle d 2 R R 2r nbsp 取自 https zh wikipedia org w index php title 欧拉定理 几何 amp oldid 77033300, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,