柯西乘积, 在数学上, 以法国数学家奧古斯丁, 路易, 柯西命名的, 是指两组数列a, displaystyle, 的离散卷积, displaystyle, 该数列乘积被认为是自然数r, displaystyle, mathbb, 的半群环的元素, 目录, 级数, 示例, 有穷级数, 无穷级数, 收敛和梅尔滕斯定理, 例子, 梅尔滕斯定理的证明, 切萨罗定理, 推广, 与卷积函数的关系级数, 编辑一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数, 不需要收敛, displaystyle, displaystyle, in. 在数学上 以法国数学家奧古斯丁 路易 柯西命名的柯西乘积 是指两组数列a n b n displaystyle a n b n 的离散卷积 c n k 0 n a k b n k displaystyle c n sum k 0 n a k b n k 该数列乘积被认为是自然数R N displaystyle R mathbb N 的半群环的元素 目录 1 级数 2 示例 2 1 有穷级数 2 2 无穷级数 3 收敛和梅尔滕斯定理 3 1 例子 3 2 梅尔滕斯定理的证明 4 切萨罗定理 5 推广 6 与卷积函数的关系级数 编辑一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数 不需要收敛 a n b n displaystyle a n b n n 0 a n n 0 b n displaystyle sum n 0 infty a n qquad sum n 0 infty b n 一般地 对于实数和复数 柯西乘积定义为如下的离散卷积形式 n 0 a n n 0 b n n 0 c n displaystyle left sum n 0 infty a n right cdot left sum n 0 infty b n right sum n 0 infty c n 这里 c n k 0 n a k b n k n 0 1 2 displaystyle c n sum k 0 n a k b n k n 0 1 2 ldots dd 形式 是指我们对级数运算时不考虑是否收敛 参见形式幂级数 人们希望 通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推 得到无穷级数 n 0 c n displaystyle sum n 0 infty c n 等于如下乘积 n 0 a n n 0 b n displaystyle left sum n 0 infty a n right left sum n 0 infty b n right 就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法 在充分良态的情况下 上述式子成立 而更重要的一点 尽管这两个无穷级数可能不收敛 它们的柯西乘积仍可能存在 示例 编辑有穷级数 编辑 对于i gt n displaystyle i gt n i gt m displaystyle i gt m 有x i 0 displaystyle x i 0 y i 0 displaystyle y i 0 即为有穷级数 则 x displaystyle sum x 和 y displaystyle sum y 柯西乘积可以展开为 x 0 x n y 0 y m displaystyle x 0 cdots x n y 0 cdots y m 因此可以直接计算乘积 无穷级数 编辑 对某些a b R displaystyle a b in mathbb R 构造x n a n n displaystyle x n a n n 和y n b n n displaystyle y n b n n 由定义和二项式展开可知 C x y n i 0 n a i i b n i n i a b n n displaystyle C x y n sum i 0 n frac a i i frac b n i n i frac a b n n 形式上 exp a x displaystyle exp a sum x exp b y displaystyle exp b sum y 我们已表明exp a b C x y displaystyle exp a b sum C x y 由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积 见下面的证明 因此我们就可证明这个表达式对于 a b R displaystyle a b in mathbb R 有exp a b exp a exp b displaystyle exp a b exp a exp b 另外一个例子 令x n 1 displaystyle x n 1 n N displaystyle n in mathbb N 则 C x x n n 1 displaystyle C x x n n 1 对所有n N displaystyle n in mathbb N 成立 则柯西乘积 C x x 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 displaystyle sum C x x 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 dots 该乘积不收敛 收敛和梅尔滕斯定理 编辑令x y为实数数列 弗兰兹 梅尔滕斯 Franz Mertens 提出 如果级数 y displaystyle sum y 收敛到Y 且级数 x displaystyle sum x 绝对收敛到X 则他们的柯西乘积 C x y displaystyle sum C x y 收敛到XY 对于两个级数为条件收敛时 结论未必成立 如下反例所示 例子 编辑 考虑下述两交错级数 a n b n 1 n n 1 displaystyle a n b n frac 1 n sqrt n 1 它们都是收敛的 其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散 其柯西乘积的项由下式给出 c n k 0 n 1 k k 1 1 n k n k 1 1 n k 0 n 1 k 1 n k 1 displaystyle c n sum k 0 n frac 1 k sqrt k 1 cdot frac 1 n k sqrt n k 1 1 n sum k 0 n frac 1 sqrt k 1 n k 1 其中整数 n 0 因为对于所有 k 0 1 n 我们都有不等式 k 1 n 1 及 n k 1 n 1 故对分母中的根式有 k 1 n k 1 n 1 因此 由于共有 n 1 个被加项 故对于所有的整数 n 0 有 c n k 0 n 1 n 1 1 displaystyle c n geq sum k 0 n frac 1 n 1 1 因此 cn 在 n 时并不趋于 0 级数 cn 发散 项测试 梅尔滕斯定理的证明 编辑 令X n i 0 n x i displaystyle X n sum i 0 n x i Y n i 0 n y i displaystyle Y n sum i 0 n y i C n i 0 n C x y i displaystyle C n sum i 0 n C x y i C n i 0 n k 0 i x k y i k i 0 n Y i x n i displaystyle C n sum i 0 n sum k 0 i x k y i k sum i 0 n Y i x n i 重排后 则C n i 0 n Y i Y x n i Y X n displaystyle C n sum i 0 n Y i Y x n i YX n 对任意给定的 e gt 0 因为 x displaystyle sum x 绝对收敛 y displaystyle sum y 收敛 因此存在一个整数N 对于任意n N Y n Y lt e 4 n 0 x n 1 displaystyle Y n Y lt frac varepsilon 4 sum n 0 infty x n 1 和存在一个正整数M 对于所有 n M displaystyle n geq M 有 x n N lt e 4 N sup Y n Y 1 displaystyle x n N lt frac varepsilon 4 N sup Y n Y 1 由级数絕對收敛 则式子收敛到0 同样的 存在一个整数L 如果有 n L displaystyle n geq L 则 X n X lt e 2 Y 1 displaystyle X n X lt frac varepsilon 2 Y 1 因此 对于所有n大于N M L 有 C n X Y i 0 n Y i Y x n i Y X n X i 0 N 1 Y i Y x n i i N n Y i Y x n i Y X n X lt e displaystyle C n XY sum i 0 n Y i Y x n i Y X n X leq sum i 0 N 1 Y i Y x n i sum i N n Y i Y x n i Y X n X lt varepsilon 根据收敛的定义 即 C x y X Y displaystyle sum C x y to XY 切萨罗定理 编辑如果x y是实数数列 且 x A displaystyle sum x to A y B displaystyle sum y to B 则有 1 n i 0 n C x y n A B displaystyle frac 1 n left sum i 0 n C x y n right to AB 推广 编辑所有上述证明也可推广到C displaystyle mathbb C 复数级数 柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间R n displaystyle mathbb R n 上 这种情况下 如果两组数列绝对收敛 则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 与卷积函数的关系 编辑我们可以定义柯西乘积为双向无限数列 视为Z displaystyle mathbb Z 上的函数 这种情况并非总能定义柯西乘积 例如 常数级数1和其本身的柯西乘积 1 displaystyle dots 1 dots 有的有一些配对 比如任何级数与一个有限级数的乘积 ℓ 1 ℓ displaystyle ell 1 times ell infty 的乘积 这与Lp空间有关 取自 https zh wikipedia org w index php title 柯西乘积 amp oldid 75589268, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,