本质上确界和本质下确界, 的概念与上确界和下确界有关, 但前者与测度论的关联性更大, 其中通常要涉及不是处处都成立的命题, 而是几乎处处, 也就是说, 除了在测度为零的集合以外, 为测度空间, 并设f, r为定义在x上的实函数, 它并不一定是可测的, 实数a称为f的上确界, 如果对于x内的所有x, 都有f, 也就是说, 集合, displaystyle, 是空集, 而a称为本质上确界, 如果集合, displaystyle, 的测度为零, 也就是说, 对于x内的几乎所有x, 都有f, 更加正式地, f的本质上确界,. 本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关 但前者与测度论的关联性更大 其中通常要涉及不是处处都成立的命题 註 1 而是几乎处处 也就是说 除了在测度为零的集合以外 设 X S m 为测度空间 并设f X R为定义在X上的实函数 它并不一定是可测的 实数a称为f的上确界 如果对于X内的所有x 都有f x a 也就是说 集合 x X f x gt a displaystyle x in X f x gt a 是空集 而a称为本质上确界 如果集合 x X f x gt a displaystyle x in X f x gt a 的测度为零 也就是说 对于X内的几乎所有x 都有f x a 更加正式地 f的本质上确界 ess sup f 定义为 e s s sup f inf a R m x f x gt a 0 displaystyle mathrm ess sup f inf a in mathbb R mu x f x gt a 0 如果本质上确界的集合 a R m x f x gt a 0 displaystyle a in mathbb R mu x f x gt a 0 不是空集 否则ess sup f 类似地 我们也可以定义本质下确界 e s s inf f sup b R m x f x lt b 0 displaystyle mathrm ess inf f sup b in mathbb R mu x f x lt b 0 如果本质下确界的集合不是空集 否则为 例子 编辑在实数轴上 考虑勒贝格测度和它对应的s代数S 用以下公式定义f f x 5 if x 1 4 if x 1 2 otherwise displaystyle f x begin cases 5 amp mbox if x 1 4 amp mbox if x 1 2 amp mbox otherwise end cases 这个函数的上确界 最大值 是5 下确界 最小值 是 4 然而 函数只在集合 1 和 1 内才取得这些值 它们的测度为零 在所有其它地方 函数的值为2 因此 函数的本质上确界和本质下确界都是2 作为另外一个例子 考虑以下的函数 f x x 3 if x Q arctan x if x R Q displaystyle f x begin cases x 3 amp mbox if x in mathbb Q arctan x amp mbox if x in mathbb R backslash mathbb Q end cases 其中Q表示有理数 这个函数既没有上界也没有下界 所以上确界和下确界分别是 和 但是 从勒贝格测度的角度来看 有理数集合的测度为零 因此 真正有关的是在这个集合的补集发生的事情 其中函数由arctan x给出 于是 函数的本质上确界是p 2 本质下确界是 p 2 最后 考虑函数f x x3对于所有的实数x 它的本质上确界是 本质下确界是 性质 编辑inf f e s s inf f e s s sup f sup f displaystyle inf f leq mathrm ess inf f leq mathrm ess sup f leq sup f 本條目含有来自PlanetMath Essential supremum 的內容 版权遵守知识共享协议 署名 相同方式共享协议 注释 编辑 也就是对集合中所有元素都成立的命题 取自 https zh wikipedia org w index php title 本质上确界和本质下确界 amp oldid 68499649, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,