有限域算术

有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體（如有理數）中的運算。

不同的有限體有無限多種，它們的勢（英語：Cardinality）皆以 ${\displaystyle p^{n}}$ 的形式表示，其中 ${\displaystyle \ p}$ 是一個質數， ${\displaystyle n}$ 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。${\displaystyle p}$ 同時代表此有限體的特徵數，而${\displaystyle \ n}$ 則是此有限體的維度。

有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼（例如BCH碼和里德-所羅門碼）以及在密碼學中的演算法（例如進階加密標準）等不同领域的应用

有效多項式表示

伽羅瓦體

有${\displaystyle \ p^{n}}$ 個元素的有限體可以表示成${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p^{n})}$ ，其中 GF 為伽羅瓦體（英語：Galois field）的縮寫。伽羅瓦體即為有限體的別稱，以紀念現代群論的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽羅瓦^[1]。

一個簡單的例子是${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}$ （也能可表示成${\displaystyle \ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ），其中${\displaystyle \ p\ }$ 是一個質數。${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}$ 是將正整數作以${\displaystyle \ p\ }$ 為模的模運算後所得的結構。換言之，我們可以對整數進行加法、減法、乘法的運算，接著再以模運算將結果簡化。因此${\displaystyle \ \mathrm {GF} (p)}$ 其實也是一種環。

以${\displaystyle \ \mathrm {GF} (5)}$ 為例

在${\displaystyle \ \mathrm {GF} (5)}$ 中，${\displaystyle 4+3=2}$  而不會等於${\displaystyle \ 7}$ ，這是因為${\displaystyle \ 7_{(}mod\ 5)=2}$ 。而除法能理解為對其乘法反元素作乘法, 並可以使用擴充版的輾轉相除法來計算。

以${\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}$ 為例

${\displaystyle \ \mathrm {GF} (2)}$ 的加法为XOR,而乘法是AND. 由于唯一具有倒数的元素是数字1，除法则是恆等函數。

GF(pⁿ)的元素可表示为，在GF(p)之上严格小于n次数的多项式。运算则实行在先模除R，而R是一则在GF(p)之上，拥有n次数的不可约多项式, 例如运用多项式长除法。两则多项式P和Q则按常规运算；乘法则按如下进行: 先按常规计算W = P⋅Q, 然后计算模除R之后的余项(存在有更方便方法）。

当素数是2时，一般按常规可以把GF(pⁿ)的元素表示为二进制数, 按对应元素的二进制表示，多项式的每一项表示为一比特的，相对应元素的二进制数位，并且括号( "{"和"}" )或类似的分隔符也普遍附加于这些二进制数，或对应它们的十六进制的同等数，以表明数值确确是域内的一则元素。举例说明, 下列数都在具有2的特征下持有相同的数值。

多项式: x⁶ + x⁴ + x + 1

二进制: {01010011}

十六进制: {53}

加法和减法

加法和减法可实施在加与减这两则多项式，再而使用模除其特征值以简化。

在一则特征值为2的有限域之中，加法模2，减法模2，如同使用XOR. 因此，

多项式: (x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1

二进制: {01010011} + {11001010} = {10011001}

十六进制: {53} + {CA} = {99}

在常规的无限域的多项式的加法下，计算之和需要包含单项 2x⁶. 但在有限域的加法下， 0x⁶则被去掉，因为其计算结果被模2所消除。

下列是一则包含有对于一些多项式的，常规代数计算和与特征值为2的有限域的计算和，一同列出的图表。

p1	p2	p1 + p2 (normal algebra)	p1 + p2 in GF(2^n)
x^3 + x + 1	x^3 + x^2	2x^3 + x^2 + x + 1	x^2 + x + 1
x^4 + x^2	x^6 + x^2	x^6 + x^4 + 2x^2	x^6 + x^4
x + 1	x^2 + 1	x^2 + x + 2	x^2 + x
x^3 + x	x^2 + 1	x^3 + x^2 + x + 1	x^3 + x^2 + x + 1
x^2 + x	x^2 + x	2x^2 + 2x	0

在计算机科学的诸多应用程序之中，特征值为2的有限域运算被简单化，称之为GF(2ⁿ) 伽罗瓦域, 使的这些领域在应用程序中，体现出一种特别大众化的选择。

乘法

乘法是在有限域之内，把乘积模除于，一则用来表示有限域的，简约过的不可约多项式。 (换句话说, 乘法再跟上使用，简约了的多项式充当除数的除法，然后余数则是它们的乘积。) 符号 "•" 可以用作于在有限域之内的乘法。

Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的發音近於"Rhine doll")使用包含256个元素的持有特征值是2的有限域， 同时可被称之为伽罗瓦域GF(2⁸). 在乘法上它依赖下列简约多项式。

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1.

例如, {53} • {CA} = {01} 因为在Rijndael域中

   (x⁶ + x⁴ + x + 1)(x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= (x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x

= x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

与

x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x 模除 x⁸ + x⁴ + x³ + x¹ + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十进制), 同时可被长除法所表示, (使用二进制注释. 注意 XOR在例题中的应用，而不是常规运算中的减法。):

   11111101111110 (mod) 100011011 ^100011011  1110000011110 ^100011011  110110101110 ^100011011  10101110110 ^100011011  0100011010 ^00000000  100011010 ^100011011  00000001 

（十六进制数字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由于它们的乘积是1。)

1. C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world . Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.  含有內容需登入查看的頁面 (link)