最大模原理

在复分析中，最大模原理说明，如果 f 是一个全纯函数且不是常数，那么它的模${\displaystyle |f|}$在定义域内取不到局部最大值。

复变函数cos(z)的模的图像（红色），其中 z 在单位原盘（蓝色）取值。最大模原理表明：函数的模的最大值不能在圆盘内部取得（因此红色曲面的最高处在边缘上）。

换句话说，全纯函数 f 要么是常数函数，要么对于其定义域之内的任意点 z₀，都存在任意靠近它的点 z，使得${\displaystyle |f(z)|>|f(z_{0})|}$。

正规陈述

设复值函数 f 在复平面 C 的连通开子集 D 上全纯。如果存在${\displaystyle z_{0}\in D}$ ，使得对z₀的某个邻域上的任意点 z 都有${\displaystyle |f(z_{0})|\geq |f(z)|}$ （即${\displaystyle z_{0}}$ 是模的局部最大值点），那么函数 f 是 D 上的常数函数。

通过取倒数，可以得到等价的最小模原理：设f在有界区域D的内部全纯，并连续到D的边界上，而且没有零点，则|f(z)|的最小值在D的边界上取得。

另外，最大模原理可视为开映射定理的特殊情况，即非常数的全纯函数把开集映为开集。若|f|在点z处取得极大值，则z的一个充分小的开邻域的像不可能是开的。因此，f是常数。

证明概要

利用调和函数的最大值原理

用复变量自然对数的等式

${\displaystyle \log {f(z)}=\ln {|f(z)|}+i\arg {f(z)}}$ 

推导出${\displaystyle |f(z)|}$ 是调和函数。由于 z₀ 是这个函数的一个极大值，根据最大值原理，${\displaystyle |f(z)|}$ 在定义域上是常数。因此，运用柯西-黎曼方程可以得到${\displaystyle f'(z)=0}$ ，于是f(z) 是常数函数。通过类似的论证可以得到，|f|的极小值只能在f(z)的孤立零点处取得。

物理解释

用热传导方程可以给出这个原理的一个物理解释。由于${\displaystyle \log {|f(z)|}}$ 是调和函数，所以可以看作是区域D上的稳定态热流。假设区域D的内部取得严格最大值，则这一最大值点的热量会向周围传导，这与稳定态是相互矛盾的。

应用

最大模原理在复分析中有许多应用，可以用来证明：

• 代数基本定理，使用最大模原理的证明是一个基本的复分析的证明，可以在很多复分析教材中看到。
• 施瓦茨引理，在复分析中有许多推广和应用。
• 其推广是弗拉格门-林德洛夫原理，将结果推广到定义域无界的函数。
• 博雷尔-卡拉西奥多里定理

参考来源

• E.C. Titchmarsh，The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
• E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Maximum Modulus Principle. MathWorld.