施尼勒尔曼密度

設集合${\displaystyle A\subseteq \mathbb {Z} }$，${\displaystyle A(n)=|A\cap \{1,2,\ldots ,n\}|}$，${\displaystyle A}$中不大於${\displaystyle n}$的元素的數目。施尼勒尔曼密度函數${\displaystyle \sigma :{\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )\to [0,1]}$，或${\displaystyle A}$的施尼勒尔曼密度定義為：

${\displaystyle \inf _{n}{\frac {A_{n}}{n}}}$

其中inf表示最大下界。若使用${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}}$（如自然密度），可能不存在極限，施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。

性質

• ${\displaystyle 0\leq \sigma A\leq 1}$ 
• ${\displaystyle \forall n\ A(n)\geq n\sigma A}$ 
• ${\displaystyle \sigma A=1\leftrightarrow A=\mathbb {N} }$ 
• ${\displaystyle \forall k\ k\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1-1/k}$ .

特別地

${\displaystyle 1\notin A\rightarrow \sigma A=0}$ 

${\displaystyle 2\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1/2}$ 

• ${\displaystyle \sigma A=0\rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n}$ 

Mann定理

設${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$ ，拉格朗日四平方和定理可以寫成${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1}$ ，其中${\displaystyle A\oplus B}$ 表示${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的和集。

顯然，${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$ ，另外也有${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$ 。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢？原來${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$ 。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0，但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。

施尼勒尔曼指出：

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B}$ 

Mann證明了更強的條件：

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \min(\sigma A+\sigma B,1)}$