整性

整性是交換代數中的概念，用于描述在有理数域的某些扩域中，某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性（是否为整元素）本质上只依赖于環的概念。整性與環的整擴張推廣了代數數與代數擴張的概念。

定義

以下所論的環皆為含單位元的交換環。

設有環A、B，A為B的子環。设t∈B。若存在以A中元素为系数的首一多項式P∈A[X]，使得P(t) = 0，則稱t是A上的整元素。如果B的每個元素都是A上的整元素，則稱B為A的整擴張。

由有限性刻劃

假設同上。環的乘法與加法運算賦予 ${\displaystyle B}$  自然的 ${\displaystyle A}$ -模結構。對於一個元素 ${\displaystyle b\in B}$ ，下述條件彼此等價：

1. ${\displaystyle b}$  在 ${\displaystyle A}$  為整。
2. 子環 ${\displaystyle A[b]}$  是有限生成的 ${\displaystyle A}$ -模。
3. 存在包含 ${\displaystyle A\cup \{b\}}$  的子環 ${\displaystyle C\subset B}$ ，而且 ${\displaystyle C}$  是有限生成的 ${\displaystyle A}$ -模。

此命題最常見的證明是利用關於行列式的凱萊-哈密頓定理。

閉包性質

更多信息：整閉包

• （整閉包）利用有限性的刻劃，可知 ${\displaystyle A}$  上的整元構成 ${\displaystyle B}$  的子環，稱為 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle B}$  中的整閉包。
• （可遞性）考慮環擴張 ${\displaystyle A\subset B\subset C}$ ，若 ${\displaystyle B}$  是 ${\displaystyle A}$  的整擴張，而 ${\displaystyle c\in C}$  在 ${\displaystyle B}$  上為整，則它在 ${\displaystyle A}$  上為整。特別是：若 ${\displaystyle B/A}$ 、${\displaystyle C/B}$  皆為整擴張，則 ${\displaystyle C/A}$  亦然。

整同態

在整性的定義中，子環條件 ${\displaystyle A\subset B}$  可以放寬為一個同態 ${\displaystyle f:A\to B}$ ，${\displaystyle b\in B}$  在 ${\displaystyle A}$  上的整性定義為它對同態像 ${\displaystyle f(A)}$  的整性，整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 ${\displaystyle f:A\to B}$ ，同樣可賦予 ${\displaystyle B}$  一個 ${\displaystyle A}$ -模結構，此時有限性判準依然成立。

文獻

• Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9