拉薩爾不變集原理

拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）^[1]、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）^[2]或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。

全域穩定性版本

考慮以下方程式的系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {x} }$ 為符合以下條件的變數向量

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$ 

若可以找到${\displaystyle C^{1}}$  函数 ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$ ，使下式成立

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ 針對所有${\displaystyle \mathbf {x} }$ （半負定）

則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 內， ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 是其完整軌跡完全在${\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$ 集合的聯集。

若${\displaystyle V}$ 函數又有正定的性質，即

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$ ，針對所有的${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ 

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$ 

而且${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 除了${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$  for ${\displaystyle t\geq 0}$ 的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普诺夫稳定性。

再者，若${\displaystyle V}$ 是徑向無界（radially unbounded）

當${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$ 時，${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$ 

原點為全域漸近穩定。

局部穩定性版本

若

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$ ，當${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ 時

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ 

當${\displaystyle \mathbf {x} }$ 在原點的鄰域${\displaystyle D}$ 內才成立，且集合

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D}$ 

除了${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$ 的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。

和李雅普诺夫稳定性的關係

If ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ 為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ 只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

例子：有摩擦力的單擺

此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下^[1]：

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$ 

其中${\displaystyle \theta }$ 是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，${\displaystyle m}$ 是單擺的質量，${\displaystyle k}$ 是摩擦係數，g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$ 

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$ 

利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$ ，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ 為

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$ 

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ 即為系統的能量^[2]。${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ 在原點附近，半徑${\displaystyle \pi }$ 的開球體內為正定。計算其導數

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$ 

可觀察到${\displaystyle V(0)={\dot {V}}(0)=0}$ 。若${\displaystyle {\dot {V}}<0}$ 成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜，${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$ 及${\displaystyle {\dot {V}}}$ 只是半負定。不過，以下集合

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$ 

也就是

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$ 

除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle x_{2}(t)=0}$ ，則因為${\displaystyle x_{1}}$ 必需小於${\displaystyle \pi }$ ，則${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$ 且${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$ 。因此，軌跡不會停留在集合${\displaystyle S}$ 內。

不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ 時，最後都會收斂到原點^[3]。

歷史

此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾（英语：J.P. LaSalle）（在RIAS（英语：Research Institute for Advanced Studies））及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基（英语：Nikolai Nikolaevich Krasovsky）兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理^[4]。

相關條目

• 穩定性理論
• 李雅普诺夫稳定性

原始論文

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 （俄语）. 
• Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科書

• LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961. 
• Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN 9780691133294. （原始内容于2019-04-30）. 
• Teschl, G. . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始内容存档于2012-06-26）. 
• Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8. 

教材

• 德克萨斯州农工大学不變集原理的講義（）
• 北卡罗来纳州立大学拉薩爾不變集原理的講義（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 麻省理工学院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（PDF^{[永久失效連結]}）

參考資料

1. Khalil, Hasan. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 2002. 
2. Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008. 

1. ^ Lecture notes on nonlinear control （页面存档备份，存于互联网档案馆）, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
2. ^ ibid.
3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.