拉格朗日恒等式

在代数中，以约瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是：^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&{\biggl (}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )},\end{aligned}}}$

应用于任意两个实数或复数集合（或者更一般地，一个交换环的元素）{a₁, a₂, . . ., a_n} and {b₁, b₂, . . ., b_n}。这个恒等式是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的推广，同时也是Binet–Cauchy恒等式的特殊形式。

用一个更为简洁的向量形式表示，Lagrange恒等式就是：^[3]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}$

其中a和b是由实数构成的n维向量。向复数的引申需要将点积理解为内积或者Hermitian点积。准确的说，对于复数，Lagrange恒等式可以写成以下形式：^[4]

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}}$

用到复数的模^[5]

拉格朗日恒等式和外代数

拉格朗日恒等式用楔积可以写成

${\displaystyle (a\cdot a,b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b)}$ 。

因此，它可以看作是一个以点积形式给出两个向量楔积的公式，也就是由它们定义的平行四边形，即

${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}}$ 。

参考资料

1. Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. CRC Press. 2003. ISBN 1-58488-347-2. 
2. Robert E Greene and Steven G Krantz. Exercise 16. Function theory of one complex variable 3rd. American Mathematical Society. 2006: 22. ISBN 0-8218-3962-4. 
3. Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann. Dimension theory for ordinary differential equations. Vieweg+Teubner Verlag. 2005: 26. ISBN 3-519-00437-2. 
4. J. Michael Steele. Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers. The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. 2004: 68–69. ISBN 0-521-54677-X. 
5. Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2002: 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9. ;
   Palka, Bruce P. An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1991: 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9.