拉格朗日定理 (群論)

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拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因數值。

定理

叙述：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。

定理的证明利用了左陪集的性质，令H是群G的子群。可知H在G中的每个左陪集都是一个等价类（证明见下）。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数（H是H关于e的左陪集），因此H的阶（元素个数）整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作[G:H]。

陪集的等价关系

定义二元关系${\displaystyle \sim }$ ：${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H}$ 。下面证明它是一个等价关系。

1. 自反性：${\displaystyle \forall x\in G,~~x^{-1}x=e\in H~~\implies ~~x\sim x}$ 
2. 对称性：${\displaystyle \forall x,y\in G,~~x\sim y\implies x^{-1}y\in H}$ ，因此${\displaystyle y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H}$ ，因此${\displaystyle y\sim x\cdot }$ 
3. 传递性：${\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~(x\sim y~~\wedge ~~y\sim z)~~\implies ~~x^{-1}y\in H\wedge y^{-1}z\in H}$ ，因此${\displaystyle x^{-1}z=x^{-1}y\cdot y^{-1}z\in H}$ ，因此${\displaystyle x\sim z\cdot }$ 。

可以证明，${\displaystyle (a^{-1}b\in H)\Longleftrightarrow (aH\cap bH\neq \varnothing )\Longleftrightarrow (aH=bH)}$ 。因此左陪集是由等价关系${\displaystyle \sim }$ 确定的等价类。

拉格朗日定理说明，如果商群G / H存在，那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。

${\displaystyle {\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}}}$ 

上述写法在G为无限群时也成立。

推论

1. 由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶（考虑由a生成的循环群）。

2. 如果${\displaystyle n}$ 是质数，那么所有阶数为${\displaystyle n}$ 的群都同构（因为素数只有1和它本身为约数）。

3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群G和一个整除G的阶的整数d，G并不一定有阶数为 d的子群。最简单的例子是4次交替群A₄，它的阶是12，但对于12的因数6，A₄没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。

参见

• 群
• 正规子群
• 西洛定理