拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述

設

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 是實希爾伯特空間，其內積記作${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ，導出範數${\displaystyle \|\cdot \|}$ ，
• ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ 是雙線性型，使得

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$ 上連續：

${\displaystyle \exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$ ，

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上強制（有稱為${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ －橢圓性)：

${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$ ，

• ${\displaystyle L}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上的連續線性型。

那麼存在唯一的${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ ，使得對所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 都有${\displaystyle a(u,v)=Lv}$ ：

${\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv}$ 。

而且如果${\displaystyle a}$ 是對稱的，那麼${\displaystyle u}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中唯一的元素，使得以下泛函取最小值${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv}$ 對所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ ，即：

${\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}$ 。

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ ，使得${\displaystyle Lv=\langle f,v\rangle }$ 對任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 成立。

對所有${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ ，映射${\displaystyle v\mapsto a(u,v)}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的${\displaystyle A_{u}\in {\mathcal {H}}}$ ，使得${\displaystyle a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle }$ 對任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 成立。易知算子${\displaystyle A:u\mapsto A_{u}}$  是一個${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 上連續線性自同態。由此可把${\displaystyle (1)}$ 表示成如下等價形式：

${\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f}$ 

要證明此命題，只要證得${\displaystyle A}$ 是從${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 到${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。

從${\displaystyle a}$ 的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 

${\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}$ 

從而知對任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 

${\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|}$  (*)。

這證明了${\displaystyle A}$ 是單射。

要證明滿射，考慮算子${\displaystyle A}$ 在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 內的像${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ 。

不等式(*)表示，如${\displaystyle Au_{n}}$ 是柯西序列，那麼${\displaystyle u_{n}}$  是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 內的柯西序列。由${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的完備性，${\displaystyle u_{n}}$ 收斂至${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ 。因${\displaystyle A}$ 連續，得出${\displaystyle Au_{n}}$ 收斂至${\displaystyle Au}$ 。

${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ 因此為${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中的閉子空間，由投影定理可知${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ 。

再設元素${\displaystyle w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ ，從定義有${\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0}$ ，因此

${\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}$ 

故得${\displaystyle w=0}$ 。所以${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ 為${\displaystyle \{0\}}$ ，證得${\displaystyle A}$ 是滿射。

自同態${\displaystyle A}$ 是雙射，故在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 內存在唯一的${\displaystyle u}$ 使得${\displaystyle Au=f}$ ，且可以由${\displaystyle u=A^{-1}f}$ 得出。

附注

不用求出${\displaystyle u}$ ，有其範數的上界估計

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}$ 

其中${\displaystyle \|\cdot \|'}$ 表示對偶空間${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ 的範數。

對稱情形

如果雙線性型${\displaystyle a}$ 對稱，那麼對所有${\displaystyle w\in {\mathcal {H}}}$ 有：

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$ 

因${\displaystyle u}$ 是命題(1)的唯一解，有

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$ 

從${\displaystyle a}$ 的強制性有：

${\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}$ 

取${\displaystyle v=u+w}$ ，從上式有${\displaystyle J(u)\leq J(v)}$ 對任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$ 成立，因而得到${\displaystyle (2)}$ 的結果。

應用

這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 內求${\displaystyle u}$ ，而是在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 的有限${\displaystyle n}$ 維子空間${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ 內求${\displaystyle u_{n}}$ ，那麼

• 如果${\displaystyle a}$ 對稱，以${\displaystyle a}$ 為內積，${\displaystyle u_{n}}$ 是${\displaystyle u}$ 的投影。
• 給出${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ 的基${\displaystyle (\varphi _{i})}$ ，上述問題化為求解線性方程組：

${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}$ 

其中${\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})}$ ，${\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}}$ 。

泛函分析中的定理

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