戴德金群

戴德金群（Dedekind group）指的是一類所有的子群都是正規子群的群，所有的交換群都是戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群（Hamiltonian group）。^[1]

階數最小的漢彌爾頓群是四元群，四元群具有八個元素，一般記做${\displaystyle Q_{8}}$。戴德金和貝爾（Reinhold Baer）證明說所有的漢彌爾頓群${\displaystyle H}$都是${\displaystyle H=Q_{8}\times B\times D}$的直積，其中${\displaystyle B}$是二階初等阿貝爾群，而${\displaystyle D}$則是周期性交換群，且${\displaystyle D}$所有元素的階數皆是奇數。

戴德金群以理查德·戴德金，戴德金曾在1897年的一篇文章中研究這類的群，並為有限群提供了上述的結構理論，他並以四元數的發現者威廉·哈密頓爵士之名來命名非交換的戴德金群。

在1898年，乔治·米勒（George Abram Miller）描述了漢彌爾頓群及其子群的階的結構，像例如他發現說若一個漢彌爾頓群的階數為${\displaystyle 2^{n}}$，那這個群會有一個階數為${\displaystyle 2^{n}-6}$的四元數子群；在2005年，霍瓦特氏（Horvat）等人^[2]利用這樣的結構來計算階數為${\displaystyle 2^{n}a}$的漢彌爾頓群的數量，其中${\displaystyle a}$是一個奇數。在${\displaystyle n<3}$的時候，沒有漢彌爾頓群的階數為${\displaystyle 2^{n}a}$，對於其他的${\displaystyle n}$，階數為${\displaystyle 2^{n}a}$的漢彌爾頓群的個數，和階數為${\displaystyle a}$的交換群一樣多。

註解

1. Hall. The theory of groups. 1999: 190 [2020-12-06]. （原始内容于2013-06-21）. 
2. Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž. On the Number of Hamiltonian Groups. 2005-03-09. arXiv:math/0503183  . 

參考資料

• Dedekind, Richard, Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind, Mathematische Annalen, 1897, 48 (4): 548–561 [2020-12-06], ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, doi:10.1007/BF01447922, （原始内容于2016-03-03） .
• Baer, R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akad. Wiss.2, 12–17, 1933.
• Hall, Marshall, The theory of groups, AMS Bookstore: 190, 1999, ISBN 978-0-8218-1967-8 .
• Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž, On the number of Hamiltonian groups, Mathematical Communications, 2005, 10 (1): 89–94, Bibcode:2005math......3183H, arXiv:math/0503183   .
• Miller, G. A., On the Hamilton groups, Bulletin of the American Mathematical Society, 1898, 4 (10): 510–515, doi:10.1090/s0002-9904-1898-00532-3 .
• Taussky, Olga, Sums of squares, American Mathematical Monthly, 1970, 77 (8): 805–830, JSTOR 2317016, MR 0268121, doi:10.2307/2317016, hdl:10338.dmlcz/120593 .