情境最佳化

情境最佳化（scenario optimization）也稱為情境方法（scenario approach），是一種求解強健最佳化（英语：robust optimization）問題和機會約束規劃（chance-constrained optimization）問題的方式，其方法會以一些約束的樣本為基礎。情境最佳化也和建模及決策中的归纳推理有關。此方法已以启发法的形式存在了數十年，近來開始探討此方法系統化理論的基礎。

簡介

在最优化的應用中，強健性的特點會轉變成一些拘束條件，其中的參數是問題中的未知量。在情境最佳化方法^[1][2][3]中，會用亂數取樣的方式，找到一些亂數取樣的拘束樣本（启发法），這些拘束樣本稱為「情境」（scenarios），會先只根據這些拘束條件找到一個解，之後再配合其他方法求得這個解和其他拘束之間的強健性。此理論證實了在強健最佳化及機會約束最佳化中，使用亂數是合理的。

資料驅動的最佳化

有時情境的資訊是由模型中以亂數的方式拮取出來。不過更常見的是情境是從觀測資料中找到的不確定事件（数据科学）。在後者的情形下，不需要不確定性的模型即可以產生情境。最值得注意的是，此情形下的情境最佳化伴隨著的是 成熟的理論，因為所有情境最佳化的結果都和分佈無關，因此可以應用在沒有不確定性模型或是缺乏類似資訊的情形下。

理論結果

針對凸拘束（也就是和线性矩阵不等式有關的半定問題（英语：semidefinite programming）），已有深入的理論分析說明新的拘束無法滿足的機率是依照以β分布為主的分布。針對所有凸優化問題的結果也是如此^[3]。再繼續擴展，有許多實驗等級的結果是依照狄利克雷分布，其邊緣分布為β分布^[4]。也有探討過配合${\displaystyle L_{1}}$ 正則化的情境最佳化^[5]，也有便利的算法，可以簡化運算的複雜度^[6]。有關更複雜、非凸拘束的研究是目前熱門的研究主題。

配合情境最佳化，可以在風險和回報中取得權衡^[7][8]，而且有完整的方法可以將此結果應用在控制上^[9]。一開始先選擇${\displaystyle N}$ 個拘束開始進行最佳化，之後持續的移除其中的一些拘束，移除過程可以用不同的方式行，甚至是利用貪心法。每當多消除一個拘束後，會更新最佳化的解，也會得到對應最佳化的數值。在此程序持續進行時，可以得到經驗式的「最佳值曲線」，也就是在移除多少數量的拘束後，最佳值的變化。情境最佳化可以針對各個解的強健性作準確的評估。

此技術一個很大的進步是透過wait-and-judge方法得到的^[10]：先評估解的複雜度（如前面所述），並根據其值的公式來評估解的強健性。這些結果可以看來複雜度和風險二個概念之間的深層關係。有一個相關的研究方式，稱為「重複情形設計」（Repetitive Scenario Design），是用透過重複的交替情境設計的階段（用較少的樣本）再隨機的確認其解的可行性，目的是要降低解的複雜度^[11]。

例子

考慮一函數${\displaystyle R_{\delta }(x)}$ 為投资的獲利，此函數和投資選擇向量${\displaystyle x}$ 及市場狀態${\displaystyle \delta }$ 有關，這些資訊在投資週期的最後會知道。

假設一個市場狀態的隨機模型，考慮有${\displaystyle N}$ 個可能狀態${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{N}}$  （亂數或是不確定性）。接著，可以從觀察記錄中找到情境${\displaystyle \delta _{i}}$ 。

要求解以下的情境最佳化問題

${\displaystyle \max _{x}\min _{i=1,\dots ,N}R_{\delta _{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$ 

對應一個投資組合向量x，可以在最壞的情境下有最好的報酬^[12][13]。

在求解(1)後，可以得到最佳投資策略${\displaystyle x^{\ast }}$ ，對應此情形的最佳報酬${\displaystyle R^{\ast }}$ 。當. While ${\displaystyle R^{\ast }}$ 只根據${\displaystyle N}$ 個可能的市場狀態求得時，透過情境最佳化理論可以得到其強健性最大到${\displaystyle \epsilon }$ ，意思是指，在其他的市場狀態下，可達到報酬${\displaystyle R^{\ast }}$ 達到的機率只有${\displaystyle 1-\epsilon }$ 。

在量化金融上，最壞條件的分析可能過於保守。另一種作法是不考慮一些奇怪的情形，以減少悲观情绪^[7]，而情境最佳化也可以用在其他風險度量中，例如CVaR（风险条件值，Conditional Value at Risk），因此增加使用靈活度^[14]。

應用領域

應用領域包括：預測、系统科学、迴歸分析、精算學、最优控制、數理金融學、机器学习、决策、供应链及管理学等。

參考資料

1. G. Calafiore and M.C. Campi. Uncertain Convex Programs: Randomized Solutions and Confidence Levels. Mathematical Programming, 102: 25–46, 2005. [1] Archive.is的存檔，存档日期2013-02-03
2. G. Calafiore and M.C. Campi. "The scenario approach to robust control design," IEEE Transactions on Automatic Control, 51(5). 742-753, 2006. [2]
3. M.C. Campi and S. Garatti. The Exact Feasibility of Randomized Solutions of Uncertain Convex Programs. SIAM J. on Optimization, 19, no.3: 1211–1230, 2008.[3]
4. A. Caré, S. Garatti and M.C. Campi.Scenario min-max optimization and the risk of empirical costs . SIAM Journal on Optimization, 25, no.4: 2061-2080, 2015, Mathematical Programming, published online, 2016. [4] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. M.C. Campi and A. Carè. Random convex programs with L1-regularization: sparsity and generalization. SIAM Journal on Control and Optimization, 51, no.5: 3532-3557, 2013. [5] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
6. A. Caré, S. Garatti and M.C. Campi. FAST - Fast Algorithm for the Scenario Technique. Operations Research, 62, no.3: 662-671, 2014. [6] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
7. M.C. Campi and S. Garatti. A Sampling-and-Discarding Approach to Chance-Constrained Optimization: Feasibility and Optimality. Journal of Optimization Theory and Applications, 148, Number 2, 257–280, 2011 (preliminary version published in Optimization Online, 2008). [7]^{[永久失效連結]}
8. G.C. Calafiore. Random Convex Programs. SIAM J. on Optimization, 20(6) 3427-3464, 2010. [8] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
9. S. Garatti and M.C. Campi. Modulating Robustness in Control Design: Principles and Algorithms.. IEEE Control Systems Magazine, 33, 36–51, 2013. [9]
10. M.C. Campi and S. Garatti. Wait-and-judge scenario optimization.. Mathematical Programming, published online, 2016. [10] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
11. G.C. Calafiore. Repetitive Scenario Design. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 62, Issue 3, March 2017, pp. 1125-1137. [11] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
12. B.K. Pagnoncelli, D. Reich and M.C. Campi. Risk-Return Trade-off with the Scenario Approach in Practice: A Case Study in Portfolio Selection. Journal of Optimization Theory and Applications, 155: 707-722, 2012. [12] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
13. G.C. Calafiore. Direct data-driven portfolio optimization with guaranteed shortfall probability. Automatica, 49(2) 370-380, 2013. [13]
14. M.C. Campi and Federico Alessandro Ramponi. Expected shortfall: Heuristics and certificates. European Journal of Operational Research. [14]