线性矩阵不等式

线性矩阵不等式是凸优化中，具有形式：

${\displaystyle \operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\geq 0\,}$

的表达式, 其中,

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]}$ 是一个实向量,
• ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$ 是 ${\displaystyle n\times n}$ 的实对称矩阵 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$,
• ${\displaystyle B\geq 0}$是廣義的不等式，意思是在${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$的半正定子空間 ${\displaystyle \mathbb {S} _{+}}$內，${\displaystyle B}$是半正定矩陣。

线性矩阵不等式表示y的凸集限制條件。

應用

有一些有效率的數值方法可以判斷线性矩阵不等式是否可行（是否存在向量y使得LMI(y) ≥ 0），或解出有LMI限制條件的凸優化問題。 許多控制理论、系統識別及信号处理的最佳化問題都可以表示為线性矩阵不等式。线性矩阵不等式也可以應用在Polynomial SOS（英语：Polynomial SOS）中。原型的原始半定規劃（英语：semidefinite programming）及對偶半定規劃都是實線性函數的最小化，分別屬於控制此LMI的原始凸錐（英语：convex cone）及對偶凸錐。

求解

凸優化的主要突破是導入了内点法（英语：interior-point method）。這個方法是在一系列的論文中發展的。在尤里·涅斯捷羅夫及阿爾卡迪·內米羅夫斯基探討LMI問題的論文中引起學術界的注意。

參考資料

• Y. Nesterov and A. Nemirovsky, Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming. SIAM, 1994.

外部連結

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） (book in pdf)
• C. Scherer and S. Weiland , Dutch Institute of Systems and Control (DISC).