微分同胚

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。

定義

對給定的兩個微分流形${\displaystyle M,N}$ ，若對光滑映射${\displaystyle f:M\to N}$ ，存在光滑映射${\displaystyle g:N\to M}$ 使得${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{N}}$ 、${\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{M}}$ ，則稱${\displaystyle f}$ 為微分同胚。此時逆映射${\displaystyle g}$ 是唯一的。

若在微分流形${\displaystyle M,N}$ 之間存在微分同胚，則稱${\displaystyle M}$ 與${\displaystyle N}$ 是微分同胚的，通常記為${\displaystyle M\simeq N}$ 。

對於${\displaystyle C^{r}}$ 流形，可採同樣辦法定義${\displaystyle C^{r}}$ 微分同胚之概念。

例子

考慮

${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq S^{1}}$ 

此微分同胚可由下述映射給出：

${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}.}$ 

與同胚的關係

對維度${\displaystyle \leq 3}$ 的流形，可證明同胚的流形必為微分同胚；換言之，此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例，最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球，米爾諾更證明了七維球上恰有28種微分流形結構，它們都可表成某個在${\displaystyle S^{4}}$ 上的${\displaystyle S^{3}}$ -叢。在1980年代，西蒙·唐納森與邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 上有不可數個相異的微分結構。

外部連結

• D.V. Anosov, Diffeomorphism, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4