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弗莱纳公式, 在向量微积分中, 弗勒内, 塞雷公式, frenet, serret, 公式, 用来描述欧几里得空间r3中的粒子在连续可微曲线上的运动, 更具体的说, 弗勒内公式描述了曲线的切向, 法向, 副法方向之间的关系, 这一公式由法国数学家让, 弗雷德里克, 弗勒内, 于1847年的博士论文中, 和约瑟夫, 阿尔弗雷德, 塞雷, 于1851年, 分别提出, 空间曲线的切向量, 法向量, 和副法向量, 以及切向量和法向量张成的密切平面, 单位切向量, 单位法向量, 单位副法向量, 被称作, 弗勒内标架, 他们的. 在向量微积分中 弗勒内 塞雷公式 Frenet Serret 公式 用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动 更具体的说 弗勒内公式描述了曲线的切向 法向 副法方向之间的关系 这一公式由法国数学家让 弗雷德里克 弗勒内 于1847年的博士论文中 和约瑟夫 阿尔弗雷德 塞雷 于1851年 分别提出 空间曲线的切向量 T 法向量 N 和副法向量 B 以及切向量和法向量张成的密切平面 单位切向量 T 单位法向量 N 单位副法向量 B 被称作 弗勒内标架 他们的具体定义如下 T 是单位切向量 方向指向粒子运动的方向 N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量 B 是 T 和 N 的外积 弗勒内公式如下 d T d s k N d N d s k T t B d B d s t N displaystyle begin aligned dfrac d mathbf T ds amp kappa mathbf N dfrac d mathbf N ds amp kappa mathbf T tau mathbf B dfrac d mathbf B ds amp tau mathbf N end aligned 其中d ds 是对弧长的微分 k 为曲线的曲率 t 为曲线的挠率 弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律 目录 1 弗勒内公式 2 参阅 3 注释 4 参考资料 5 外部链接弗勒内公式 编辑 平面曲线上的亮点的切向量和法向量 以及标架在运动过程中的旋转 记r t 为欧式空间R3中的曲线 表示粒子在时间 t 时刻的位置向量 弗勒内公式只适用于正则曲线 即速度向量r t 和加速度向量r t 不为零的曲线 记 s t 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长 s t 0 t r t d t displaystyle s t int 0 t mathbf r tau d tau 由于假设r 0 因此可以将 t 表示为 s 的函数 因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r s r t s s 通常也被称为曲线的弧长参数 对于由弧长参数定义的正则曲线 r s 弗勒内标架 或弗勒内基底 定义如下 单位切向量 T T d r d s 1 displaystyle mathbf T d mathbf r over ds qquad qquad 1 dd 主法向量 N N d T d s d T d s 2 displaystyle mathbf N frac d mathbf T ds over left frac d mathbf T ds right qquad qquad 2 dd 副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积 B T N 3 displaystyle mathbf B mathbf T times mathbf N qquad qquad 3 dd 螺旋线上弗勒内标架的运动 蓝色的箭头表示切向量 红色的箭头表示法向量 黑色的箭头表示副法向量 由于 T 1 d T T d s 2 T N 0 displaystyle mathbf T 1 frac d mathbf T cdot mathbf T ds 2 mathbf T cdot mathbf N 0 所以 N 与 T 垂直 方程 3 说明 B 垂直于 T 和 N 因此向量 T N B 互相垂直 弗勒内公式如下 d T d s k N d N d s k T t B d B d s t N displaystyle begin matrix frac d mathbf T ds amp amp amp kappa mathbf N amp amp amp amp amp frac d mathbf N ds amp amp kappa mathbf T amp amp tau mathbf B amp amp amp amp frac d mathbf B ds amp amp amp tau mathbf N amp end matrix 其中 k 为曲线的曲率 t 为曲线的挠率 弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理 并且可以写做矩阵的形式 1 T N B 0 k 0 k 0 t 0 t 0 T N B displaystyle begin bmatrix mathbf T mathbf N mathbf B end bmatrix begin bmatrix 0 amp kappa amp 0 kappa amp 0 amp tau 0 amp tau amp 0 end bmatrix begin bmatrix mathbf T mathbf N mathbf B end bmatrix 其中的矩阵是反对称矩阵 对弧长s求导 可以看成是对切方向的协变导数 参阅 编辑曲线仿射几何 曲线微分几何 达布标架 运动学注释 编辑 Kuhnel 2002 1 9参考资料 编辑Crenshaw H C Edelstein Keshet L Orientation by Helical Motion II Changing the direction of the axis of motion Bulletin of Mathematical Biology 1993 55 1 213 230 Etgen Garret Hille Einar Salas Saturnino Salas and Hille s Calculus One and Several Variables 7th John Wiley amp Sons 896 1995 Frenet F Sur les courbes a double courbure PDF These Toulouse 1847 2010 03 01 原始内容 PDF 存档于2011 07 16 Abstract in J de Math 17 1852 Goriely A Robertson Tessi M Tabor M Vandiver R Elastic growth models BIOMAT 2006 PDF Springer Verlag 2006 原始内容 PDF 存档于2006 12 29 Griffiths Phillip On Cartan s method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry Duke Mathematics Journal 1974 41 4 775 814 doi 10 1215 S0012 7094 74 04180 5 Guggenheimer Heinrich Differential Geometry Dover 1977 ISBN 0 486 63433 7 Hanson A J Quaternion Frenet Frames Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves PDF Indiana University Technical Report 2007 Iyer B R Vishveshwara C V Frenet Serret description of gyroscopic precession Phys Rev D 1993 48 12 5706 5720 Jordan Camille Sur la theorie des courbes dans l espace a n dimensions C R Acad Sci Paris 1874 79 795 797 Kuhnel Wolfgang Differential geometry Student Mathematical Library 16 Providence R I American Mathematical Society 2002 ISBN 978 0 8218 2656 0 MR1882174 Serret J A Sur quelques formules relatives a la theorie des courbes a double courbure PDF J De Math 1851 16 2010 03 01 原始内容 PDF 存档于2022 03 15 Spivak Michael A Comprehensive Introduction to Differential Geometry Volume Two Publish or Perish Inc 1999 Sternberg Shlomo Lectures on Differential Geometry Prentice Hall 1964 Struik Dirk J Lectures on Classical Differential Geometry Reading Mass Addison Wesley 1961 外部链接 编辑Rudy Rucker s KappaTau Paper Very nice visual representation for the trihedron 取自 https zh wikipedia org w index php title 弗莱纳公式 amp oldid 72352902, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,