巴拿赫极限

在数学分析中，巴拿赫极限（英語：Banach limit）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间${\displaystyle \ell ^{\infty }}$上，对每个${\displaystyle \ell ^{\infty }}$中的序列${\displaystyle x=(x_{n})}$、${\displaystyle y=(y_{n})}$和复数${\displaystyle \alpha }$满足：

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)}$（线性）；
2. 若对每个${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$有${\displaystyle x_{n}\geq 0}$，则${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$（正定性）；
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$，其中${\displaystyle S}$是移位算子，定义为${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$（移位不变性）；
4. 若${\displaystyle x}$是收敛序列，则${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$

的连续线性泛函${\displaystyle \phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C} }$。

因此，${\displaystyle \phi }$是对连续线性泛函${\displaystyle \lim x:c\mapsto \mathbb {C} }$的延拓，其中${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$是${\displaystyle \mathbb {C} }$中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法）^[1]，也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）^[2]。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

几乎收敛

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$ ，注意到${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$ 是常序列，并且

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1.}$ 

因此对每个巴拿赫极限而言，它以${\displaystyle 1/2}$ 为极限。

我们将每个巴拿赫极限${\displaystyle \phi }$ 下有相同的${\displaystyle \phi (x)}$ 的有界序列${\displaystyle x}$ 称为几乎收敛的。

Ba 空间

在${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$ 中给定收敛序列${\displaystyle x=(x_{n})}$ ，如果考虑对偶${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$ ，${\displaystyle x}$ 通常的极限并不由${\displaystyle \ell ^{1}}$ 的某个元素给出。实际上${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ 是${\displaystyle \ell ^{1}}$ 的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，${\displaystyle \ell ^{1}}$ 虽然能诱导出${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ 中的连续线性泛函，但并不是全部。每个${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ 上的巴拿赫极限都是${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ 的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在${\displaystyle \ell ^{1}}$ 中。${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ 的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

外部链接

• 巴拿赫极限. PlanetMath. 

参考

1. Conway, Theorem III.7.1
2. Balcar-Štěpánek, 8.34

• Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr. Teorie množin 2. Praha: Academia. 2000. ISBN 802000470X （捷克语）. 
• Conway, John B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. New York: Springer. 1994. ISBN 0-387-97245-5.