Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1
二月 06, 2023
導出函子, 提示, 此条目的主题不是导子, 在同調代數中, 阿貝爾範疇間的某類函子可以, 求導, 以獲得相應的, 此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造, 目录, 動機, 構造與初步性質, 逆變函子的情形, 長正合序列, 應用, 推廣, 文獻動機, 编辑考慮的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列, 具體言之, 給定兩個阿貝爾範疇, displaystyle, mathcal, mathcal, 及其間的加法函子, displaystyle, mathcal, mathcal, 假設, displaysty. 提示 此条目的主题不是导子 在同調代數中 阿貝爾範疇間的某類函子可以 求導 以獲得相應的導出函子 此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造 目录 1 動機 2 構造與初步性質 2 1 右導出函子 2 2 左導出函子 2 3 逆變函子的情形 3 長正合序列 4 應用 5 推廣 6 文獻動機 编辑考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列 具體言之 給定兩個阿貝爾範疇 A B displaystyle mathcal A mathcal B 及其間的加法函子 F A B displaystyle F mathcal A to mathcal B 假設 F displaystyle F 為左正合函子 換言之 對 A displaystyle mathcal A 中的任一短正合序列 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 下列序列是正合的 0 F A F B F C displaystyle 0 to F A to F B to F C 由此自然導出一個問題 如何自然地延長此正合序列 F displaystyle F 的 右 導出函子是一族函子 R i F A B displaystyle R i F mathcal A to mathcal B 滿足 R 0 F F displaystyle R 0 F F 且有相應的長正合序列 0 F A F B F C R 1 F A R 1 F B R 1 F C R 2 F A displaystyle 0 to F A to F B to F C to R 1 F A to R 1 F B to R 1 F C to R 2 F A to cdots 導出函子可以視為 F displaystyle F 的右正合性的尺度 構造與初步性質 编辑右導出函子 编辑 今假設 A displaystyle mathcal A 中有充足的內射元 設 X A displaystyle X in mathcal A 根據假設 存在內射分解 0 X I 0 I 1 I 2 displaystyle 0 to X to I 0 to I 1 to I 2 to cdots 取函子 F displaystyle F 得到上鏈複形 0 F X F I 0 F I 1 F I 2 displaystyle 0 to F X to F I 0 to F I 1 to F I 2 to cdots 定義 R i F X displaystyle R i F X 為其第 i displaystyle i 個上同調群 特別是有 R 0 F X F X displaystyle R 0 F X F X 注意到兩點 由於任兩個內射分解彼此同倫等價 函子 R i F displaystyle R i F 在同構的意義下是明確定義的 若 X displaystyle X 是內射對象 取平凡分解 0 X X 0 displaystyle 0 to X to X to 0 可知當 i gt 0 displaystyle i gt 0 時有 R i F X 0 displaystyle R i F X 0 左導出函子 编辑 左導出函子的建構與右導出函子對偶 設 G A B displaystyle G mathcal A to mathcal B 為右正合加法函子 並假設 A displaystyle mathcal A 有充足的射影元 對任一對象 X A displaystyle X in mathcal A 取一射影分解 P 2 P 1 P 0 X 0 displaystyle cdots to P 2 to P 1 to P 0 to X to 0 取函子 G displaystyle G 得到鏈複形 G P 2 G P 1 G P 0 0 displaystyle cdots to G P 2 to G P 1 to G P 0 to 0 定義 L i G X displaystyle L i G X 為其第 i displaystyle i 個同調群 其性質類似右導出函子 逆變函子的情形 编辑 對於逆變函子也能定義導出函子 此時的導出函子也是逆變函子 較有系統的方法是利用反範疇的概念 長正合序列 编辑對於右導出函子的情形 任一短正合序列 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 給出長正合序列 R i 1 F C R i F A R i F B R i F C R i 1 F A displaystyle cdots to R i 1 F C to R i F A to R i F B to R i F C to R i 1 F A to cdots 對於左導出函子 相應的長正合序列形如 L i 1 G C L i G A L i G B L i G C L i 1 G C displaystyle cdots to L i 1 G C to L i G A to L i G B to L i G C to L i 1 G C to cdots 此外 這些長正合序列在下述意義下是 自然 的 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射 這些性質是蛇引理的推論 應用 编辑層上同調 對拓撲空間 X displaystyle X 考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇 它有充足的內射元 整體截面函子 F G X F displaystyle mathcal F mapsto Gamma X mathcal F 是左正合函子 相應的右導出函子即層上同調函子 F H i X F displaystyle mathcal F mapsto H i X mathcal F 平展上同調 平展上同調用於概形上的另一種上同調理論 Ext函子 設 R displaystyle R 為環 考慮 R displaystyle R 模範疇 它有充足的內射元及射影元 對任一 R displaystyle R 模 A displaystyle A 函子 H o m R A displaystyle mathrm Hom R A 為左正合的 其右導出函子記為 B E x t R i A B displaystyle B mapsto mathrm Ext R i A B Tor函子 同樣考慮 R displaystyle R 模範疇 對任一 R displaystyle R 模 B displaystyle B 函子 R B displaystyle otimes R B 為右正合的 其左導出函子記為 A T o r i R A B displaystyle A mapsto mathrm Tor i R A B 群上同調 設 G displaystyle G 為群 所謂 G displaystyle G 模是指被 G displaystyle G 作用的阿貝爾群 G displaystyle G 模範疇可以理解為 Z G displaystyle mathbb Z G 模範疇 對任一 G displaystyle G 模 M displaystyle M 定義 M G m M g G g m m displaystyle M G m in M forall g in G g cdot m m 這是一個左正合函子 其右導出函子即群上同調函子 M H i G M displaystyle M mapsto H i G M 推廣 编辑現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架 文獻 编辑Weibel Charles A An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38 Cambridge University Press Cambridge 1994 xiv 450 pp ISBN 0 521 43500 5 0 521 55987 1 取自 https zh wikipedia org w index php title 導出函子 amp oldid 66910159, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,