对称函数

此條目介紹的是在变量的所有排列下不变的函数。关于向量空间元素上的对称函数，请见「对称张量」。

数学中，若n元函数无论变量顺序如何，值都相同，就称之为对称函数。例如，二元函数${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$，当且仅当${\displaystyle \forall x_{1},\ x_{2},\ \left(x_{1},x_{2}\right),\ \left(x_{2},x_{1}\right)\in {\rm {dom}}(f),\ f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$，f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数，由对称多项式给出。 一个相关概念是交错多项式，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的张量也可以是对称的，实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构于V上的k次齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。

对称化

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给定任意一个n元函数f，其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对偶置换求和、再减去奇置换的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化，则只能恢复二元的f，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。

例子

• 考虑实值函数
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$

   
  由定义，n元对称函数满足以下性质
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$

   
  一般来说，变量的排列不影响函数值。本例中
  $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$

   
  以此类推，适用于${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ 的所有排列。
• 考虑函数
  $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$

   
  若x、y互换，函数变为
  $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$

   
  结果与原${\displaystyle f(x,y)}$ 相同。
• 再考虑函数
  $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$

   
  若x、y互换，函数变为
  $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$

   
  若${\displaystyle a\neq b}$ ，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。

应用

U-统计量

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统计学中，对k-样本统计量进行自助的对称化，可得n元对称函数的n样本统计量，称作U-统计量。例子如样本均值和样本方差。

另见

• 交错多项式
• 基本对称多项式
• 奇函数与偶函数
• 对称随机变量
• 准对称函数
• 对称函数环
• 对称化
• 范德蒙多项式

参考文献

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.