样本均值

样本均值是由一個或多個隨機變數中得到的统计量，样本均值是一個向量，其中的每個元素都是針對隨機變數取様後得到的算术平均数。若只考慮一個随机变量，則样本均值為一個純量，是隨機變數觀測值的算术平均。

定義

令${\displaystyle x_{ij}}$ 為第j個隨機變數（j=1,...,K）在第i次觀測（i=1,...,N）到的值，所有觀測值可以重組為N個K ×1的向量，其中第i次觀測的所有數據用${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ 表示（i=1,...,N）。

算术平均向量${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$ 的第j個元素${\displaystyle {\bar {x}}_{j}}$ 是第j個隨機變數在N次觀測值的平均值：

${\displaystyle {\bar {x}}_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{ij},\quad j=1,\ldots ,K.}$ 

因此算术平均向量包括所有隨機變數的平均值，可以用以下方式表示：

${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {x} _{i}.}$ 

样本均值是隨機向量（英语：Multivariate random variable）${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$ 期望（若存在）的無偏估計（英语：Bias of an estimator），隨機向量是一個列向量，其中第j個元素(j = 1, ..., K)為第j個隨機變數^[1]。

样本均值因為是用所有的觀測值計算而得，稍微和每次的觀測值有關。若母体平均${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )}$ 已知，其無偏估計值

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-\operatorname {E} (X_{j})\right)\left(x_{ik}-\operatorname {E} (X_{k})\right),}$ 

用到母体平均，其分母為${\displaystyle \textstyle N}$ 。

样本均值的方差

本节中总假定出现的均值和方差都是存在的。對於每個隨機變數，样本均值是母体平均的良好估计函数，其中的良好是指有效及無偏差。當然样本均值不會是統計母體真實均值的正確值，因為從同一個分佈中不同的取様會產生不同的样本均值，也就對真實均值有不同的估计。因此样本均值也是隨機變數，不是常數，因此也會有其分佈隨機變數。針對第j個隨機變數N次觀測的隨機取様，其样本均值分佈的均值會等於母體均值${\displaystyle E(X_{j})}$ ，而其變異數會等於${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}^{2}}{N}}}$ ，其中${\displaystyle \sigma _{j}^{2}}$ 是隨機變數X_j的變異數。

評論

样本均值廣為使用在統計學及相關應用中，不過也有其缺點。样本均值不是稳健统计（英语：robust statistics），容易受異常點（英语：outliers）影響。在真實世界的應用中，一般會期望數據有稳健的性質，有其他方式可以計算類似样本均值的統計量，但又比样本均值要稳健，可以得到一些常見的量化統計量，例如様本眾數和位置參數（英语：Location parameter）有關^[2]。其他的替代品包括Winsorising（英语：Winsorising）及修整估计量（英语：Trimmed estimator），例如Winsorized平均（英语：Winsorized mean）及修整平均（英语：trimmed mean）。

參考資料

1. Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Prentice Hall. 2007 [10 August 2012]. ISBN 978-0-13-187715-3. （原始内容于2020-10-30）. 
2. The World Question Center 2006: The Sample Mean （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Bart Kosko