外共变导数

在数学中，外共变导数（exterior covariant derivative），时或称为共变外导数（covariant exterior derivative），是流形上的微积分（英语：calculus on manifolds）中一个非常有用的概念，它可能将利用主联络的公式化简。

设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 ${\displaystyle \phi }$ 是 P 上一个张量性 k-形式，则其外共变导数定义为：

${\displaystyle D\phi (X_{0},X_{1},\dots ,X_{k})=\mathrm {d} \phi (h(X_{0}),h(X_{1}),\dots ,h(X_{k}))}$

这里 h 表示到水平子空间的投影，${\displaystyle H_{x}}$ 由联络定义，其核为该纤维丛的全空间切丛的 ${\displaystyle V_{x}}$（铅直子空间）。这里 ${\displaystyle X_{i}}$ 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0，我们有

${\displaystyle D^{2}\phi =\Omega \wedge \phi }$

这里 ${\displaystyle \Omega }$ 表示曲率形式。特别的 ${\displaystyle D^{2}}$ 对平坦联络消没。

物理學

若A是聯絡形式、f是函數，則外共变导数是

${\displaystyle d_{D}f=(d+A)f}$ 

若${\displaystyle M\in End(E)}$ 是矩陣函數（E是主叢；例如，屬於G的李代數），則外共变导数是

${\displaystyle d_{D}M=dM+[A,M]}$ 

而且，若F是曲率形式，則

${\displaystyle F=d_{D}^{2}=d_{D}A=dA+A^{2}}$ 

比安基恒等式是

${\displaystyle d_{D}F=d_{D}^{3}=0}$ 

相关条目

• 外联络
• 楊-米爾斯場論
• 陳-西蒙斯形式

参考文献

• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
• Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
• Zee (徐一鴻). QFT in Nutshell.
• Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）