基本子结构

在模型论，给定在同一个语言 ${\displaystyle L}$ 中的两个结构 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$，我们称 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的基本子结构（英語：elementary substructure）^{[註 1]}如果

1. ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的子结构，且

2. 对于所有有限元组 ${\displaystyle a\in M}$，对于所有语言 ${\displaystyle L}$ 的公式 ${\displaystyle \varphi (x)}$，我们有 ${\displaystyle M\models \varphi (a)}$ 当且仅当 ${\displaystyle N\models \varphi (a)}$。

我们称 ${\displaystyle N}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的基本扩展当且仅当 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的基本子结构。

等价条件

有时对第二个条件使用一个等价的陈述。我们可以通过对所有 ${\displaystyle m\in M}$  增加一个常量符号 ${\displaystyle c_{m}\ }$  来扩展 ${\displaystyle L}$  为一个新语言 ${\displaystyle L(M)}$ 。那么 ${\displaystyle M}$  和 ${\displaystyle N}$  是解释每个 ${\displaystyle c_{m}\ }$  为 ${\displaystyle m}$  的 ${\displaystyle L(M)}$  的结构。

设 ${\displaystyle \mathrm {Th} _{L(M)}(M)\ }$  和 ${\displaystyle \mathrm {Th} _{L(M)}(N)\ }$  分别是在 ${\displaystyle M}$  和 ${\displaystyle N}$  中为真的 ${\displaystyle L(M)}$ -句子的集合(称为它们的“基本图”)。那么上述条件 (2) 等价于陈述

${\displaystyle \mathrm {Th} _{L(M)}(M)=\mathrm {Th} _{L(M)}(N)\ }$ .

塔斯基-沃特测试是给定一对 ${\displaystyle M\subset N}$ ，确定 ${\displaystyle M}$  是否是 ${\displaystyle N}$  的基本子结构的非常有用的必要和充分条件。

注释

1. 有时表示为 ${\displaystyle M<N\ }$