正规态射

在範疇論中，正规態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。

定義

設${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設${\displaystyle f:X\to Y}$ 為態射。設${\displaystyle p_{1},p_{2}:\;X\times _{Y}X\to X}$ 為積的投影，而${\displaystyle i_{1},i_{2}:\;Y\to Y\sqcup _{X}Y}$ 為上積的內射。定義：

• 上像：${\displaystyle \mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})}$ 
• 像：${\displaystyle \mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})}$ 

根據極限性質，自然態射${\displaystyle X\to \mathrm {Coim} (f)}$ 是滿射，而${\displaystyle \mathrm {Im} (f)\to Y}$ 則是單射。此外還存在唯一一個態射${\displaystyle u:\;\mathrm {Coim} (f)\to \mathrm {Im} (f)}$ ，使得合成態射

${\displaystyle X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y}$ 

正好是${\displaystyle f}$ 。

若${\displaystyle u}$ 為同構，則稱${\displaystyle f}$ 為正规態射；正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。

性質

• 以下三個條件等價：
  • ${\displaystyle f}$ 為嚴格滿射
  • ${\displaystyle \mathrm {Coim} (f)\to Y}$ 為同構
  • 序列${\displaystyle X\times _{Y}X\Rightarrow X\rightarrow Y}$ 正合
• 如果${\displaystyle f}$ 同時是嚴格滿射與嚴格單射，則${\displaystyle f}$ 為同構。
• ${\displaystyle X\to \mathrm {Coim} (f)}$ 恆為嚴格滿射。

例子

正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為拓撲向量空間範疇，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中存在所有有限的積與上積。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的態射${\displaystyle f:X\to Y}$ 即連續線性映射，其像${\displaystyle \mathrm {Im} (f)}$ 是空間${\displaystyle f(X)}$ 配與${\displaystyle Y}$ 的子空間拓撲，上像${\displaystyle \mathrm {Coim} (f)}$ 則是${\displaystyle f(X)}$ 配與${\displaystyle f:X\to f(X)}$ 的商拓撲；後者一般較前者為細。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結